Пусть f: A → B -- морфизм CDG-колец. Тогда DG-функтор ограничения скаляров R f : B-mod → A-mod индуцирует триангулированные функторы между ко- и контрапроизводными категориями CDG-модулей I co R f : D co (B-mod) → D co (A-mod) и I ctr R f : D ctr (B-mod) → D ctr (A-mod). Когда существуют функторы, сопряженные слева или справа к I co R f и I ctr R f ? На уровне DG-категорий или гомотопических категорий CDG-модулей, существуют оба функтора. Функтор расширения скаляров E f , сопряженный слева к функтору R f , сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль B ⊗ A M над CDG-кольцом B. Функтор корасширения скаляров E f , сопряженный справа к функтору R f , сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль Hom A (B,M) над CDG-кольцом B. Вопрос состоит, таким образом, в том, при каких условиях функторы расширения и/или корасширения скаляров имеют производные функторы, действующие между ко- или контрапроизводными категориями CDG-модулей над A и B. Чтобы построить контрапроизводный функтор расширения скаляров L ctr E f : D ctr (A-mod) → D ctr (B-mod), достаточно отождествить контрапроизводную категорию D ctr (A-mod) с гомотопической категорией градуированно-проективных CDG-модулей H 0 (A-mod proj ) и ограничить функтор E f с H 0 (A-mod) на H 0 (A-mod proj ). Таким образом, левый контрапроизводный функтор расширения скаляров L ctr E f существует всегда, когда контрапроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-проективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением контрапроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.) Чтобы построить контрапроизводный функтор корасширения скаляров R ctr E f : D ctr (A-mod) → D ctr (B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является проективным градуированным левым A-модулем. Тогда, как очевидно, функтор непроизводного корасширения скаляров E f переводит контраацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в контраацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I ctr E f : D ctr (A-mod) → D ctr (B-mod). Аналогично, чтобы построить копроизводный функтор корасширения скаляров R co E f : D co (A-mod) → D co (B-mod), достаточно отождествить копроизводную категорию D co (A-mod) с гомотопической категорией градуированно-инъективных CDG-модулей H 0 (A-mod inj ) и ограничить функтор E f с H 0 (A-mod) на H 0 (A-mod inj ). Таким образом, правый копроизводный функтор корасширения скаляров R co E f существует всегда, когда копроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-инъективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением копроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.) Чтобы построить копроизводный функтор расширения скаляров L co E f : D co (A-mod) → D co (B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является плоскиым градуированным правым A-модулем. Тогда функтор непроизводного расширения скаляров E f переводит коацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в коацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I co E f : D co (A-mod) → D co (B-mod).