Следуя терминологии из первого постинга этой серии, будем называть непрерывный морфизм топологических CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями дискретных CDG-модулей D co (B-mod discr ) → D co (A-mod discr ) является эквивалентностью триангулированных категорий. Пусть f: A → B -- непрерывный морфизм топологических CDG-алгебр над полем k, снабженных убывающими фильтрациями A = F 0 A ⊃ F 1 A ⊃ F 2 A ⊃ … и B = F 0 B ⊃ F 1 B ⊃ F 2 B ⊃ …, согласованными с умножениями и дифференциалами на A и B и удовлетворяющими следующим условиям. Во-первых, идеалы F n A и F n B должны быть открыты в A и B, и отображения из A и B в проективные пределы факторколец по этим идеалам должны быть топологическими изоморфизмами. Во-вторых, градуированные кольца A/F n A и B/F n B должны быть нетеровыми слева. В-третьих, морфизм CDG-алгебр A/F 1 A → B/F 1 B должен быть левой коэквивалентностью. В-четвертых, для каждого n ≥ 1 конус морфизма CDG-бикомодулей F n A/F n+1 A → F n B/F n+1 B должен быть абсолютно ацикличным коацикличным CDG-бикомодулем над F 0 B/F 1 B. Теорема: в перечисленных предположениях, морфизм топологических CDG-алгебр f: A → B является левой коэквивалентностью. Доказательство: для любого дискретного левого CDG-модуля M над CDG-алгеброй A обозначим через F n M CDG-подмодуль элементов, аннулируемых F n A в M. Возрастающая фильтрация CDG-подмодулями F n M -- исчерпывающая на M, и присоединенные факторы F n M/F n−1 M являются CDG-модулями над A/F 1 A. Ввиду предположения о том, что морфизм CDG-алгебр A/F 1 A → B/F 1 B является коэквивалентностью, мы можем заключить, что всякий дискретный левый CDG-модуль над A изоморфен в копроизводной категории D co (A-mod discr ) CDG-модулю, полученному из левых CDG-модулей над B/F 1 B с помощью конусов и бесконечных прямых сумм. Далее, ввиду условия нетеровости слева градуированных колец A/F n A и B/F n B, конечно-порожденные левые CDG-модули над A/F n A и B/F n B (а значит, и над A/F 1 A и B/F 1 B) являются компактными образующими копроизводных категорий D co (A-mod discr ) и D co (B-mod discr ), соответственно. Таким образом, остается показать, что функтор ограничения скаляров D co (B-mod discr ) → D co (A-mod discr ) индуцирует изоморфизмы пространств Hom между любыми двумя левыми CDG-модулями над B/F 1 B. Для любых двух градуированных k-векторных пространств V и U, первое из которых полно по отношению к убывающей фильтрации F, а второе снабжено исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, обозначим через Hom k F (V,U) градуированное k-векторное пространство однородных линейных отображений V → U, аннулирующих F n V для достаточно больших n и имеющих образ, содержащийся в F m U для достаточно больших m. Градуированное k-векторное пространство Hom k F (V,U) снабжено естественной исчерпывающей возрастающей фильтрацией F. Для любого градуированного k-векторного пространства U, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, градуированное векторное пространство Hom k F (B,U) имеет естественную структуру дискретного градуированного левого B-модуля, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что B-модуль Hom k F (B,U) является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Для любого дискретного градуированного левого B-модуля N, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B, имеется естественный инъективный морфизм фильтрованных градуированных левых B-модулей N → Hom k F (B,N). Для любого дискретного левого CDG-модуля N над CDG-алгеброй B, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с дифференциалом и действием кольца B с его убывающей фильтрацией F, прямая сумма дискретных градуированных левых B-модулей Hom k F (B,N) ⊕ Hom k F (B,Hom k F (B,N)) ⊕ Hom k F (B,Hom k F (B,Hom k F (B,N))) ⊕ … наделяется тремя дифференциалами, один из которых определяется в терминах умножения на B и действия B на N, другой -- в терминах дифференциалов на B и N, и третий -- в терминах элемента кривизны в CDG-алгебре B. Снабженный суммой этих трех дифференциалов, этот дискретный градуированный левый B-модуль превращается в дискретный левый CDG-модуль Cob~(B,N) над B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что подлежащий градуированный левый B-модуль этого CDG-модуля является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Имеется естественный замкнутый морфизм дискретных левых CDG-модулей N → Cob~(B,N) над B, конус которого является коацикличным дискретным левым CDG-модулем над B. (Продолжение следует.)