Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Некоммутативная рациональная теория гомотопий - 3

На самом деле, даже и общности, развитой в предыдущем постинге, недостаточно для целей чаемого приложения к некоммутативной теории гомотопий. Похоже, что можно доказать следующее далеко идущее обобщение теоремы из предыдущего постинга.

Будем называть морфизм CDG-коалгебр над полем слабой эквивалентностью, если связанный с ним функтор коограничения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или, что все равно, правый производный функтор корасширения скаляров является эквивалентностью копроизводных категорий CDG-комодулей, или левый производный функтор контрарасширения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей, или функтор контраограничения скаляров является эквивалентностью контрапроизводных категорий CDG-контрамодулей.

Теорема. Пусть CDG-коалгебры C и D снабжены исчерпывающими возрастающими фильтрациями F, согласованными с коумножениями и дифференциалами, и пусть морфизм CDG-коалгебр f: C → D согласован с фильтрациями. Предположим, что для всех n ≥ 1 конус индуцированного морфизма присоединенных факторкомпонент FnC/Fn−1C → FnD/Fn−1D является коацикличным CDG-бикомодулем над F0D. Тогда если ограничение морфизма f на нулевые компоненты фильтрации F0C → F0D является слабой эквивалентностью CDG-коалгебр, то таковой же является и сам морфизм f: C → D.

Доказательство: функторы коограничения скаляров, действующие между копроизводными категориями CDG-комодулей над F0C, F0D, C и D образуют коммутативный квадрат; то же касается и функторов коограничения скаляров, действующих между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над этими четырьмя CDG-коалгебрами. Далее, функтор коограничения скаляров, действующий между абсолютными производными категориями конечномерных CDG-комодулей над F0C и F0D, индуцирует эквивалентность их идемпотентных пополнений, поскольку это категории компактных объектов в копроизводных категориях CDG-комодулей над F0C и F0D, функтор ограничения скаляров между которыми является эквивалентностью по предположению теоремы.

Поскольку всякий конечномерный CDG-комодуль над CDG-коалгеброй D допускает конечную фильтрацию CDG-подкомодулями с присоединенными факторами -- CDG-комодулями над F0D, и аналогично для CDG-коалгебры C, образы конечномерных CDG-комодулей над F0C составляют множество компактных образующих как в копроизводной категории CDG-комодулей над C, так и в копроизводной категории CDG-комодулей над D. Поэтому остается показать, что функтор коограничения скаляров Dco(C-comod) → Dco(D-comod) индуцирует изоморфизмы пространств Hom в копроизводных категориях CDG-комодулей над C и D между конечномерными CDG-комодулями над F0C.

С любой конечной последовательностью (правый CDG-комодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, CDG-бикомодуль, ..., CDG-бикомодуль, CDG-коалгебра, левый CDG-комодуль), где "CDG-комодуль" или "CDG-бикомодуль" является CDG-(би)комодулем над CDG-коалгеброй или CDG-коалгебрами, рядом с которой или между которыми он стоит, можно связать следующий кобар-комплекс. Как когомологически градуированное векторное пространство, он является прямой суммой тензорных произведений CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр последовательности в том порядке, в котором они в ней стоят, причем всякий CDG-(би)комодуль входит ровно один раз, а CDG-коалгебра входит любое целое неотрицательное число раз. Дифференциал в комплексе является суммой дифференциала, индуцированного дифференциалами на CDG-(би)комодулях и CDG-коалгебрах, и дифференциала, индуцированного (би)кодействиями на CDG-бикомодулях и коумножениями на CDG-коалгебрах.

Ввиду соображений, изложенных в предыдущем постинге, для доказательства теоремы достаточно показать следующее. Пусть имеется морфизм между двумя цепочками CDG-(би)комодулей и CDG-коалгебр (одинаковой длины) как выше. Тогда если каждый входящий в этот морфизм цепочек морфизм CDG-(би)комодулей имеет коацикличный (как CDG-(би)комодуль над соотвествующей CDG-коалгеброй или парой CDG-коалгебр из второй цеочки) конус, а каждый входящий морфизм CDG-коалгебр является слабой эквивалентностью, то индуцированный морфизм кобар-комплексов -- квазиизоморфизм.

В самом деле, начнем с первой цепочки и будем заменять в ней сначала CDG-коалгебры, а потом и CDG-(би)комодули на соответствующие CDG-коалгебры и CDG-(би)комодули из второй цепочки, по одной штуке за раз. Таким образом, мы сведем вопрос к ситуации, когда две цепочки отличаются только в одной CDG-коалгебре или только в одном CDG-(би)комодуле. Во втором случае, сразу ясно, что если конус соответствующего морфизма CDG-(би)комодулей коацикличен, то коацикличен и конус морфизма между кобар-комплексами. В первом случае, нужно рассмотреть возрастающую фильтрацию на кобар-комплексах по числу тензорных сомножителей, принадлежащий заменяемой CDG-коалгебре.

Главной частью дифференциала на кобар-комплексах по отношению к этой фильтрации останется сумма трех слагаемых, связанных с заменяемой CDG-коалгеброй и ее кодействием на окружающих ее CDG-(би)комодулях. Вопрос о том, является ли индуцированный морфизм кобар-комплексов цепочек CDG-коалгебр и CDG-(би)комодулей квазиизоморфизмом сведется, таким образом, к случаю двух цепочек, каждая из которых из только одной заменяемой CDG-коалгебры и двух CDG-комодулей по краям от нее, правого и левого (одинаковых в двух цепочках). Далее, можно профильтровать CDG-комодули по краям их конечномерными подкомодулями, сводя вопрос к случаю, когда эти CDG-комодули конечномерны. Тогда искомый квазиизоморфизм становится одной из формулировок свойства слабой эквивалентности морфизма CDG-коалгебр.

Теорема доказана.

Upd.: Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/915115.html
Tags: math9
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments