К предыдущему
Оглядываясь назад, главная разница между циклами про производные категории второго рода и про контрамодули сегодня видится вот в чем. Пользуясь любимой военной метафорой, можно сказать, что если первый цикл по, так сказать, сверхцели своего написания носил наступательный характер, то второй был оборонительным. Первый цикл написан человеком, открывшим для себя фундаментальную значимость некоторого ряда явлений, второй -- человеком, вынужденным доказывать их важность невдумчивому или недоброжелательному стороннему наблюдателю или конкуренту.
Основные определения, связанные с контрамодулями, появились уже (даже если отчасти в отрывочной форме замечаний и т.п.) в трактате по полубесконечной гомологической алгебре, доступном на Архиве с 2007-08 годов. Феномен комодульно-контрамодульного соответствия, подробно рассмотренный в этой книжке, плюс рассказ о кошулевой тройственности в более коротком и доступном тексте, выложенном в Архив в 2009 году и ставшем потом мемуаром AMS, были уже вполне достаточными доказательствами важности контрамодулей для вдумчивого читателя.
К середине осени 2011 года был в основном закончен текст про относительные особенности; и тогда же стало ясно, из практики общения на семинарах в Москве, что неконвенциональность стиля моей научной работы воспринимается публикой в штыки. В более мягкой форме, указания на это поступали и раньше.
Первой целью написания длинных текстов про контрамодули стала как бы "защита" книжки по полубесконечной гомологической алгебре. Демонстрация того, что ее написание не стало следствием уникального стечения обстоятельств, случайности, недоразумения, непонимания мною карьерных механизмов, или, наоборот, стремления поставить галочку в карьерной графе "монография", "хабилитация", "докторская диссертация" и т.п. Наряду, конечно, с защитой самого себя, своей личной независимости и достоинства ученого.
Содержание же этих текстов в значительной степени определялось целью защиты понятий копроизводной категории, контрапроизводной категории и контрамодуля от той или иной поверхностной или не вполне добросовестной критики. Конечно, одной из наиболее опасных таких (актуальных или потенциальных) атак было представление о том, что копроизводные категории вообще не нужны, поскольку достаточно "инд-объектов". Появление копроизводных и абсолютных производных категорий матричных факторизаций, и, в особенности, не локально свободных, но квазикогерентных и когерентных матричных факторизаций, стало хорошим ответным аргументом, но вряд ли достаточным.
Другим аргументом стало указание на то, что наряду с копроизводными категориями есть и контрапроизводные категории, и, в особенности, контрапроизводные категории контрамодулей. На это ожидался ответный аргумент, что контрапроизводные категории контрамодулей в разумных случаях эквивалентны копроизводным категориям модулей кручения, как я же и доказал; так что все это вообще не нужно. Такая критика, конечно, предполагала игнорирование того, что эквивалентность копроизводных категорий комодулей/модулей кручения и копроизводных категорий контрамодулей (ко-контра соответствие) -- красивый и нетривиальный факт, сам по себе выражающий глубокую теорию, что эта конструкция нередко зависит от дополнительных данных, и т.д. Тем не менее, и с угрозой таких критических атак приходилось считаться.
Работа про слабо искривленные алгебры продемонстрировала, что контрамодули можно нетривиально использовать в качестве коэффициентов в гомологических теориях. Работа про контрагерентные копучки -- что понятие контрамодуля глобализуется на неаффинные многообразия и схемы. Наконец, работа про MGM-двойственность парировала еще одну критическую атаку, угроза которой ощущалась -- что контрамодули и ко-контра соответствие не нужны, поскольку вместо них можно использовать "когомологически адически полные комплексы" и классическую теорию MGM-двойственности. Было продемонстрировано, что не MGM-двойственность заменяет контрамодули, а контрамодули объясняют MGM-двойственность, превращая царивший в этой области хаос в простую, внятную картину.
Наконец, последняя работа также показала, что контрамодули в гомологической алгебре существуют не только в контексте "контрапроизводная категория контрамодулей", но, параллельно с этим, также и в контексте "обычная производная категория контрамодулей". Та и другая в подходящем (разном в двух случаях) классе ситуаций бывает эквивалентна копроизводной категории или, соответственно, обычной производной категории модулей кручения, но это две разные эквивалентности и две разные теории, при том, что более-менее одни и те же контрамодули.
Основные определения, связанные с контрамодулями, появились уже (даже если отчасти в отрывочной форме замечаний и т.п.) в трактате по полубесконечной гомологической алгебре, доступном на Архиве с 2007-08 годов. Феномен комодульно-контрамодульного соответствия, подробно рассмотренный в этой книжке, плюс рассказ о кошулевой тройственности в более коротком и доступном тексте, выложенном в Архив в 2009 году и ставшем потом мемуаром AMS, были уже вполне достаточными доказательствами важности контрамодулей для вдумчивого читателя.
К середине осени 2011 года был в основном закончен текст про относительные особенности; и тогда же стало ясно, из практики общения на семинарах в Москве, что неконвенциональность стиля моей научной работы воспринимается публикой в штыки. В более мягкой форме, указания на это поступали и раньше.
Первой целью написания длинных текстов про контрамодули стала как бы "защита" книжки по полубесконечной гомологической алгебре. Демонстрация того, что ее написание не стало следствием уникального стечения обстоятельств, случайности, недоразумения, непонимания мною карьерных механизмов, или, наоборот, стремления поставить галочку в карьерной графе "монография", "хабилитация", "докторская диссертация" и т.п. Наряду, конечно, с защитой самого себя, своей личной независимости и достоинства ученого.
Содержание же этих текстов в значительной степени определялось целью защиты понятий копроизводной категории, контрапроизводной категории и контрамодуля от той или иной поверхностной или не вполне добросовестной критики. Конечно, одной из наиболее опасных таких (актуальных или потенциальных) атак было представление о том, что копроизводные категории вообще не нужны, поскольку достаточно "инд-объектов". Появление копроизводных и абсолютных производных категорий матричных факторизаций, и, в особенности, не локально свободных, но квазикогерентных и когерентных матричных факторизаций, стало хорошим ответным аргументом, но вряд ли достаточным.
Другим аргументом стало указание на то, что наряду с копроизводными категориями есть и контрапроизводные категории, и, в особенности, контрапроизводные категории контрамодулей. На это ожидался ответный аргумент, что контрапроизводные категории контрамодулей в разумных случаях эквивалентны копроизводным категориям модулей кручения, как я же и доказал; так что все это вообще не нужно. Такая критика, конечно, предполагала игнорирование того, что эквивалентность копроизводных категорий комодулей/модулей кручения и копроизводных категорий контрамодулей (ко-контра соответствие) -- красивый и нетривиальный факт, сам по себе выражающий глубокую теорию, что эта конструкция нередко зависит от дополнительных данных, и т.д. Тем не менее, и с угрозой таких критических атак приходилось считаться.
Работа про слабо искривленные алгебры продемонстрировала, что контрамодули можно нетривиально использовать в качестве коэффициентов в гомологических теориях. Работа про контрагерентные копучки -- что понятие контрамодуля глобализуется на неаффинные многообразия и схемы. Наконец, работа про MGM-двойственность парировала еще одну критическую атаку, угроза которой ощущалась -- что контрамодули и ко-контра соответствие не нужны, поскольку вместо них можно использовать "когомологически адически полные комплексы" и классическую теорию MGM-двойственности. Было продемонстрировано, что не MGM-двойственность заменяет контрамодули, а контрамодули объясняют MGM-двойственность, превращая царивший в этой области хаос в простую, внятную картину.
Наконец, последняя работа также показала, что контрамодули в гомологической алгебре существуют не только в контексте "контрапроизводная категория контрамодулей", но, параллельно с этим, также и в контексте "обычная производная категория контрамодулей". Та и другая в подходящем (разном в двух случаях) классе ситуаций бывает эквивалентна копроизводной категории или, соответственно, обычной производной категории модулей кручения, но это две разные эквивалентности и две разные теории, при том, что более-менее одни и те же контрамодули.