Восстановление многообразия по производной категории когерентных пучков - 2
Из писем за вчерашний и сегодняшний день:
Re: Reconstruction theorem
Добрый вечер, Гриша,
<...> В свое время мы обсуждали этот вопрос с Сашей Вишиком, но никакой текст так и не был никогда написан по итогам этих обсуждений; сейчас оно все забыто. Кажется, там могло утверждаться что-то вроде того, что если канонический пучок гладкого проективного многообразия в ограничении на любую кривую имеет бесконечный порядок (как элемент соотв. группы Пикара), то абелеву категорию когерентных пучков можно восстановить по ее производной категории. Я не помню уже, что написано у Бондала-Орлова и покрывается ли их результатами подобное утверждение.
Что до моего неопубликованного текста, на который Миша мог ссылаться, то имеется в виду, очевидно, архивный препринт http://arxiv.org/abs/alg-geom/9507014 . Он в целом на другую тему, но там имеется неожиданное Corollary про восстановление абелевой категории когерентных пучков по ее производной категории в случае проективного многообразия с обильным или антиобильным каноническим классом. См. стр. 3 и 5 текущей архивной версии.
Леонид
Re: Reconstruction theorem
Да, конечно, по абелевой категории когерентных пучков можно восстановить нетерову схему. Категорию квазикогерентных пучков по категории когерентных пучков тоже легко можно построить как категорию инд-объектов (а в обратную сторону, как категорию компактных объектов, в подходящем смысле). Серровские подкатегории в когерентных пучках соответствуют замкнутым подсхемам, я думаю, а рассмотрение центров соответствующих факторкатегорий позволяет восстановить структурный пучок.
Что касается восстановления абелевой категории когерентных пучков по ее производной категории, то я заглянул в архив своей переписки за начало 95-го года и вижу, что там были две идеи, очень простые. Во-первых (это заметил Саша Вишик), внутренний (рукописный) Ext между двумя когерентными комплексами на алгебраическом многообразии зануляется тогда и только тогда, когда носители их пучков когомологий не пересекаются. Пользуясь этим, можно, я думаю, восстановить абелеву категорию когерентных пучков на (по крайней мере, гладком) квазиаффинном многообразии по ее производной категории. Выделить комплексы с нульмерными носителями когомологий, потом среди них структурные пучки замкнутых точек, и т.д.
Во-вторых, что еще проще, на гладком проективном многообразии можно сначала восстановить по функтору Серра размерность многообразия, а потом, получив функтор подкрутки на канонический пучок как композицию функтора Серра со сдвигом, рассмотреть все комплексы, изоморфные своей подкрутке на канкласс. Предполагая, что ограничение канкласса на все нетривиальные (не вся кривая в точку) морфизмы из гладких проективных кривых в наше многообразие имеет бесконечный порядок, такими неподвижными при подкрутке классами изоморфизма будут в точности классы комплексов пучков с нульмерными носителями когомологий.
Теперь среди них можно выделить структурные пучки замкнутых точек (как такие объекты A, что Hom(A,A[n]) = 0 для n < 0 и является полем для n = 0), и дальше это должно позволить выделить абелеву подкатегорию когерентных пучков. Я думаю, примерно начиная с этого места оно уже все прописано у Бондала-Орлова.
Леонид
Re: Reconstruction theorem
Да, вот поэтому я и не опубликовал в свое время большую часть своих соображений по этому поводу. Писать статью о том, что условия теоремы Бондала-Орлова можно тривиальным образом ослабить по тривиальным причинам, а в остальном рассуждать, как у них написано, мне не хотелось. Ясно же, чему равна группа Гротендика (K_0) категории когерентных пучков на кривой и что происходит с ее элементом, когда представляющий его когерентный пучок подкручивают на обратимый. Поэтому я просто вставил более ранее свое рассуждение в заметку на другую тему, где оно выглядело условно к месту, а уж в какой общности оно работает, в такой работает.
Леонид
Re: Reconstruction theorem
Добрый вечер, Гриша,
<...> В свое время мы обсуждали этот вопрос с Сашей Вишиком, но никакой текст так и не был никогда написан по итогам этих обсуждений; сейчас оно все забыто. Кажется, там могло утверждаться что-то вроде того, что если канонический пучок гладкого проективного многообразия в ограничении на любую кривую имеет бесконечный порядок (как элемент соотв. группы Пикара), то абелеву категорию когерентных пучков можно восстановить по ее производной категории. Я не помню уже, что написано у Бондала-Орлова и покрывается ли их результатами подобное утверждение.
Что до моего неопубликованного текста, на который Миша мог ссылаться, то имеется в виду, очевидно, архивный препринт http://arxiv.org/abs/alg-geom/9507014 . Он в целом на другую тему, но там имеется неожиданное Corollary про восстановление абелевой категории когерентных пучков по ее производной категории в случае проективного многообразия с обильным или антиобильным каноническим классом. См. стр. 3 и 5 текущей архивной версии.
Леонид
Re: Reconstruction theorem
Да, конечно, по абелевой категории когерентных пучков можно восстановить нетерову схему. Категорию квазикогерентных пучков по категории когерентных пучков тоже легко можно построить как категорию инд-объектов (а в обратную сторону, как категорию компактных объектов, в подходящем смысле). Серровские подкатегории в когерентных пучках соответствуют замкнутым подсхемам, я думаю, а рассмотрение центров соответствующих факторкатегорий позволяет восстановить структурный пучок.
Что касается восстановления абелевой категории когерентных пучков по ее производной категории, то я заглянул в архив своей переписки за начало 95-го года и вижу, что там были две идеи, очень простые. Во-первых (это заметил Саша Вишик), внутренний (рукописный) Ext между двумя когерентными комплексами на алгебраическом многообразии зануляется тогда и только тогда, когда носители их пучков когомологий не пересекаются. Пользуясь этим, можно, я думаю, восстановить абелеву категорию когерентных пучков на (по крайней мере, гладком) квазиаффинном многообразии по ее производной категории. Выделить комплексы с нульмерными носителями когомологий, потом среди них структурные пучки замкнутых точек, и т.д.
Во-вторых, что еще проще, на гладком проективном многообразии можно сначала восстановить по функтору Серра размерность многообразия, а потом, получив функтор подкрутки на канонический пучок как композицию функтора Серра со сдвигом, рассмотреть все комплексы, изоморфные своей подкрутке на канкласс. Предполагая, что ограничение канкласса на все нетривиальные (не вся кривая в точку) морфизмы из гладких проективных кривых в наше многообразие имеет бесконечный порядок, такими неподвижными при подкрутке классами изоморфизма будут в точности классы комплексов пучков с нульмерными носителями когомологий.
Теперь среди них можно выделить структурные пучки замкнутых точек (как такие объекты A, что Hom(A,A[n]) = 0 для n < 0 и является полем для n = 0), и дальше это должно позволить выделить абелеву подкатегорию когерентных пучков. Я думаю, примерно начиная с этого места оно уже все прописано у Бондала-Орлова.
Леонид
Re: Reconstruction theorem
Да, вот поэтому я и не опубликовал в свое время большую часть своих соображений по этому поводу. Писать статью о том, что условия теоремы Бондала-Орлова можно тривиальным образом ослабить по тривиальным причинам, а в остальном рассуждать, как у них написано, мне не хотелось. Ясно же, чему равна группа Гротендика (K_0) категории когерентных пучков на кривой и что происходит с ее элементом, когда представляющий его когерентный пучок подкручивают на обратимый. Поэтому я просто вставил более ранее свое рассуждение в заметку на другую тему, где оно выглядело условно к месту, а уж в какой общности оно работает, в такой работает.
Леонид