Пусть A -- локально нетерова абелева категория Гротендика, J -- какой-нибудь ее инъективный объект, прямыми слагаемыми прямых сумм копий которого являются все остальные инъективные объекты (достаточно взять прямую сумму инъективных оболочек всех факторобъектов образующего объекта А). Обозначим через R кольцо эндоморфизмов Hom A (J,J) объекта J ∈ A, снабженное топологией, в которой базу открытых окрестностей нуля составляют аннуляторы нетеровых подобъектов в J. Такие аннуляторы являются левыми идеалами в R; поскольку мы предпочитаем говорить о левых контрамодулях над кольцами, в которых правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, нас будут интересовать левые контрамодули над кольцом R op , противоположным к R. Заметим, что группы морфизмов в полной подкатегории в A, объектами которой являются прямые суммы копий J, вычисляются по формуле Hom A (J (X) ,J (Y) ) = projlim B Hom A (B (X) ,J (Y) ) = ∏ X projlim B ∐ Y Hom A (B,J) для любых двух множеств X и Y, где B пробегает нетеровы подобъекты в J. В то же время, группы морфизмов в категории свободных левых R op -контрамодулей вычисляются по формуле Hom R op (R op [[X]],R op [[Y]]) = ∏ X R op [[Y]] = ∏ X projlim I op ∐ Y R op /I op [Y], где I op пробегает открытые правые идеалы в R op . Поскольку R/I = Hom A (B,J) для I = Ann B ⊂ R, мы, в сущности, показали, что полная подкатегория прямых сумм копий объекта J в A эквивалентна полной подкатегории свободных контрамодулей в R op -contra. Добавляя прямые слагаемые, мы убеждаемся, что аддитивная категория инъективных объектов в A эквивалентна аддитивной категории проективных объектов в R op -contra. Наконец, ясно, что бесконечные прямые суммы в этой категории сохраняются функторами вложения в категорию A (которая, напомним, предполагается локально нетеровой) и в R op -contra, и что в ней есть бесконечные произведения, сохраняемые функтором вложения в A. Покажем, что бесконечные произведения в категории проективных R op -контрамодулей (которые там существуют, поскольку они существуют в категории инъективных объектов в A) являются одновременно их бесконечными произведениями в объемлющей абелевой категории R op -contra. На самом деле, это верно в любой точной категории с достаточным количеством проективных объектов. Достаточно представить произвольный R op -контрамодуль P в виде коядра морфизма проективных R op -контрамодулей E' → E'' и посчитать Hom из Р каждый объект семейства проективных R op -контрамодулей F α и в их произведение, вычисленное в категории проективных R op -контрамодулей, как ядро морфизма групп Hom из объектов E'' и E'. Мы всегда знали, что копроизводная D co (A) эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных объектов Hot(A inj ); из результата последних двух абзацев следует также, что контрапроизводная категория D ctr (R op -contra) эквивалентна гомотопической категории комплексов проективных контрамодулей Hot(R op -contra proj ). Таким образом, построена эквивалентность триангулированных категорий D co (A) = D ctr (R op -contra), доставляющая собой обещанное производное ко-контра соответствие для любой локально нетеровой абелевой категории A. Единственное, чего здесь ощутимо недостает -- это какого-нибудь (по возможности, прямого) доказательства того, что абелева категория R op -модулей не зависит от выбора инъективного объекта J в абелевой категории A, удовлетворяющего сформулированному в начале условию. Впрочем, не вполне прямое доказательство этого несложно: вообще, абелева категория с достаточным количеством проективных объектов однозначно категорией своих проективных объектов определяется. (Предположить две такие абелевы категории; продолжить отождествление подкатегорий проективных объектов до точных справа функторов в обе стороны между ними; отметить, что обе композиции изоморфны тождественным функторам.) Теперь, кстати, можно принять за A категорию квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме и вернуться к сюжету старых постингов http://posic.livejournal.com/365249.html и http://posic.livejournal.com/445085.html ...