Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Categories:

Дедуализирующий комплекс для аффинной нетеровой формальной схемы

Продолжение сентябрьского постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский http://posic.livejournal.com/1160333.html

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Конечный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj limn R/In → RHomR(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых In в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/In-модулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomR(B,−) и B⊗LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.

Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.

Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда HomR(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHomR(B,B). Более того, комплекс R-модулей HomR(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗R HomR(K,K) = HomR(HomR(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → HomR(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/In → HomR(K,K)/In(K,K) = HomR/In((In)K, (In)K).

Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/In-модулей (In)K имеет конечно-порожденные R/In-модули когомологий.

(Продолжение следует.)
Tags: math9
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments