Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Дедуализирующий комплекс для пары коалгебр над полем

Продолжение серии сентябрьских постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html , http://posic.livejournal.com/1109490.html , http://posic.livejournal.com/1114558.html и декабрьского постинга http://posic.livejournal.com/1153742.html с сегодняшним Update'ом.

Пусть C и D -- две коассоциативные коалгебры с коединицами над одним и тем же полем k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей B над k называется дедуализирующим комплексом для пары коалгебр C и D, если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D;
- естественные отображения C* → RHomDop(B,B) и D* → RHomC(B,B) являются (квази)изоморфизмами;
- коалгебра С кокогерентна слева, коалгебра D кокогерентна справа, и бикомодули когомологий комплекса B являются конечно копредставимыми левыми C-комодулями и конечно копредставимыми правыми D-комодулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomC(B,−) и B⊙LD− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*(C-comod) и D*(D-contra) левых C-комодулей и левых D-контрамодулей.

Доказательство: согласно результатам постинга по последней четвертой ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения Homk(D,V) → RHomC(B, B⊙LDHomk(D,V)) = RHomC(B,B⊗kV) и B⊙LDHomk(B,V) = B⊙LD RHomC(B,С⊗kV) → С⊗kV являются квазиизоморфизмами для любого k-векторного пространства V.

В случае первого отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом С-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных левых C-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция Homk(D,V) → RHomC(B,B⊗kV) → RHomC(B,J⊗kV) = HomC(B,J⊗kV).

Пусть E -- конечномерная подкоалгебра в C. Тогда комплекс HomC(B,J) изоморфен проективному пределу комплексов HomE(EB,EJ) по всем E ⊂ C, где EX обозначает максимальный подкомодуль левого C-комодуля X, являющийся комодулем над E. При этом HomE(EB,EJ) -- ограниченный снизу комплекс проконечномерных векторных пространств.

Отображение D* → limprojE HomE(EB,EJ) является квазиизоморфизмом комплексов проконечномерных векторных пространств. Интересующий нас морфизм комплексов есть морфизм пополненных в известом смысле тензорных произведений комплексов проконечномерных векторных пространств на дискретное векторное пространство V, индуцированный этим квазиизоморфизмом -- и следовательно, тоже квазиизоморфизм.

В случае второго отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом D-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных правых D-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция B⊙DHomk(J,V) = B⊙LDHomk(J,V) → B⊙LDHomk(B,V) → С⊗kV.

Обе стороны сквозного отображения коммутируют с направленными индуктивными пределами в аргументе V, так что достаточно рассмотреть случай V = k. Переходя к двойственным векторным пространствам с обеих сторон отображения и вспоминая правило, связывающее контратензорное произведение и контрамодульные гомоморфизмы, а также условие теоремы, остается заметить, что естественное отображение HomD(B,J) → HomD(J*,B*) является изоморфизмом комплексов.

Теорема доказана.
Tags: math9
Subscribe

  • К предыдущему

    Есть природное или научное явление, и есть теории, его объясняющие. Типа, я не знаю, гравитации или кошулевой двойственности. Теории меняются, а…

  • Decline Advice Request

    As a matter of personal policy, I do not do any reviews for journals which would not publish my own work. Back in January 2017, my paper "Smooth…

  • Семь лет назад

    11 мая 2014 года я прилетел из Москвы в аэропорт Бен-Гуриона. Я поселился в снятой по букингу квартире-студио на (любимой с тех пор) улице Бен-Иегуда…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments