Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Дедуализирующий комплекс для пары коколец

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1106295.html и всей серии http://posic.livejournal.com/1115798.html

Пусть С -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, проективное (или, хотя бы, плоское) как правый A-модуль и пусть D -- кокольцо над ассоциативным кольцом B, проективное как левый В-модуль. Можно считать, что все происходит над базовым коммутативным кольцом k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей G называется дедуализирующим (антидуализирующим) комплексом для пары коколец C и D, если выполнены следующие условия:

- G является конечным комплексом C-D бикомодулей над k,
- имеющим конечную проективную размерность как объект C-comod и конечную проективную (или, хотя бы, контраплоскую) размерность как объект comod-D,
+ условия конечной (ко)порожденности и унитальности, которые мы попытаемся сейчас в каком-то виде сформулировать.

Заметим, что первых двух условий достаточно, чтобы построить пару сопряженных функторов комодульных гомоморфизмов и контратензорного произведения между обычными неограниченными производными категориями D(C-comod) и D(D-contra) (как, впрочем, и между любым образом ограниченными версиями этих производных категорий, и между неограниченными абсолютными производными категориями, и т.д.)

В самом деле, нужно просто заменить любой комплекс левых C-комодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной правой резольвенты, составленной из комплексов инъективных C-комодулей, перед применением функтора HomC(G,−). Аналогично, нужно заменить любой комплекс левых D-контрамодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной левой резольвенты, составленной из комплексов проективных D-контрамодулей, перед применением функтора G⊙D−.

Вопрос в том, при каких условиях эта пара сопряженных функторов является эквивалентностью триангулированных категорий. Очевидно, достаточно, чтобы соответствующий морфизм сопряжения был квазиизоморфизмом для комплексов ко- и контрамодулей, состоящих из одного объекта. Более того, можно заменить этот объект на его инъективную/проективную резольвенту и считать его инъективным/проективным ко/контрамодулем соответственно над С и над D.

14.01.2015 - Update: все же конструкция, описанная в предпоследнем абзаце, была бы корректна, если бы каждый член комплекса G имел конечную проективную/контраплоскую размерность над C и D, а не комплекс в целом. В наших же предположениях, нужно действовать так: чтобы применить функтор к одиночному C-комодулю, надо написать ему инъективную резольвенту, подействовать функтором HomC(G,−), тотализовать, и канонически обрезать на достаточно высокой (превышающей проективную размерность G над C) когомологической градуировке. Чтобы применить функтор к комплексу C-комодулей, надо применить его к каждому члену, обрезая равномерно ограниченным образом, и тотализовать получившийся конечный комплекс комплексов.

Аналогично с применением функтора G⊙D− к D-контрамодулям и комплексам D-контрамодулей, с написанием проективной/контраплоской резольвенты и каноническим обрезанием на достаточно низкой (но равномерно ограниченной) когомологической градуировке. Чтобы показать, что функторы сопряжены, нужно построить морфизмы сопряжения (это несложно) и проверить соответствующие уравнения для композиций. Вывод остается прежним: проверять, что морфизмы сопряжения являются изоморфизмами, достаточно для одиночного инъективного C-комодуля и одиночного проективного D-контрамодуля.
Tags: math9
Subscribe

  • К предыдущему

    Есть природное или научное явление, и есть теории, его объясняющие. Типа, я не знаю, гравитации или кошулевой двойственности. Теории меняются, а…

  • Decline Advice Request

    As a matter of personal policy, I do not do any reviews for journals which would not publish my own work. Back in January 2017, my paper "Smooth…

  • Семь лет назад

    11 мая 2014 года я прилетел из Москвы в аэропорт Бен-Гуриона. Я поселился в снятой по букингу квартире-студио на (любимой с тех пор) улице Бен-Иегуда…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments