Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

MGM-двойственность и ко-контра соответствие

http://posic.livejournal.com/1073557.html

В простейшем виде, производное комодульно-контрамодульное соответствие -- это эквивалентность триангулированных категорий между копроизводной категорией левых комодулей и контрапроизводной категорией левых контрамодулей над одной и той же коалгеброй (или CDG-комодулей и CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй) над полем. В более сложных вариантах рассматриваются алгебраические структуры, соединяющие в себе черты ко/контрамодулей и обычных модулей -- "ко/контрамодули по части переменных и обычные модули вдоль остальных". В зависимости от того, каким образом происходит это "соединение" и какие экзотические производные категории рассматриваются, результаты типа производного ко-контра соответствия известны в следующих вариантах:

- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй ("алгеброй над коалгеброй") -- естественная эквивалентность полупроизводных ("ко/контрапроизводных вдоль переменных в коалгебре и обычных производных в дополнительном направлении) категорий
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом ("коалгеброй над кольцом"), в случае базового кольца конечной гомологической размерности -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями, зависящая от выбора дуализирующего комплекса
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом конечной относительной гомологической размерности (в подходящем смысле) над своим базовым кольцом -- эквивалентность между обычными производными категориями

Из этих четырех вариантов, последний не рассматривался у меня пока что в сколько-нибудь общем виде (в отличие от первых трех). Единственный, кажется, прописанный пример -- это "наивное соответствие" между обычными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме (а также на произвольной нетеровой схеме). Условия на топологию схемы нужны здесь, чтобы гарантировать искомую "конечность относительной гомологической размерности".

Характерным свойством такого "наивного ко-контра соответствия" можно считать то, что оно равно применимо более-менее ко всем разновидностям экзотических производных категорий, определенным для произвольной абелевой/точной категории и не зависящим от наличия бесконечных прямых сумм или произведений. Т.е., можно с равным успехом рассматривать обычные ограниченные или неограниченные с тех или иных сторон производные категории Db, D, D+, D, абсолютную производную категорию Dabs, ее ограниченные сверху или снизу версии, и т.п. (Только ко- и контрапроизводные категории здесь использовать нельзя.) Причина тому, конечно, в том, что производные функторы, осуществляющие соответствие, имеют конечную гомологическую размерность. В этом как бы проявляется "наивность" этих конструкций.

Похоже, что классическая MGM-двойственность является еще одним примером такого "наивного ко-контра соответствия". Первое, что здесь приходит в голову -- поскольку речь идет об аффинной формальной схеме -- это обобщить сформулированное выше наивное соответствие между квазикогерентными пучками и контрагерентными копучками на случай формальных схем. Но обсуждавшаяся выше теория тривиализуется в случае аффинной схемы (поскольку кокольцо там описывает склейку аффинных открытых подсхем в покрытии, а в случае покрытия из одной аффинной (открытой под)схемы оно совпадает со своим базовым кольцом).

На самом деле, правильный взгляд, видимо, следующий. Аффинная нетерова формальная схема, в этом контексте -- это дополнение до открытой подсхемы в спектре нетерова кольца. MGM-двойственность получается из сравнения двух наивных соответствий между пучками и копучками -- на аффинной нетеровой схеме (тривиального) и на ее открытой подсхеме (нетривиального, если эта открытая подсхема не аффинна).

Продолжение/окончание в в следующем математическом постинге.
Tags: math9
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments