Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Наивные операции Масси и некоммутативная теория Куммера

Чтение работ про произведения Масси троек/n-ок элементов первой степени в когомологиях Галуа
http://arxiv.org/abs/1210.4964
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.006
http://arxiv.org/abs/1403.4586
в свете моих старинных размышлений http://posic.livejournal.com/118138.html (вряд ли содержавших много существенно новых идей уже по состоянию на 2003 год, а тем более сейчас; но все же) наводит на следующие выводы.

Пусть E -- поле, и G → H → K -- сюръективные гомоморфизмы проконечных групп. Основной задачей некоммутативной теории Куммера является: можно ли для любого поля F, содержащего E, утверждать, что любой непрерывный гомоморфизм из абсолютной группы Галуа GF в группу K, который можно поднять до гомоморфизма в группу H, можно также поднять до гомоморфизма в группу G (возможно, несовместимым с заданным подъемом в H, но образующим только коммутативную диаграмму гомоморфизмов в группу K, способом)?

Например, обыкновенная (коммутативная) теория Куммера утверждает, что если поле F содержит все lN-корни из единицы, то всякий гомоморфизм из GF в циклическую группу вычетов Z/ln можно поднять до гомоморфизма в l-адическую аддитивную группу Zl. В этом примере группы H и K совпадают, но в связи с вопросом о занулении произведений Масси классов первых когомологий интересны примеры, когда все три группы различны (и являются некоторыми конечными l-группами строго верхнетреугольных матриц над Z/ln).

Будем обсуждать, для простоты, случай, когда группы G, H и K конечны. (Уни)версальным алгебраическим торсором для группы G над полем E называется алгебраический G-торсор (т.е., конечный этальный морфизм Галуа с группой Галуа G) алгебраических многообразий над E, такой что всякий алгебраический G-торсор (т.е., гомоморфизм GF → G) над полем F, содержащим E, происходит из некоторой F-точки на базовом многообразии нашего конечного этального морфизма. Версальный алгебраический G-торсор над E можно построить, выбрав точное линейное представление G над E, выкинув из пространства представления инвариантный набор гиперплоскостей, содержащий точки с нетривиальным стабилизатором, и профакторизовав по действию группы (доказательство версальности основано на теореме Гильберта 90 для GL; см. по ссылкам выше).

В статьях по ссылкам вопрос о существовании подъемов обсуждается следующим образом. Задавшись фиксированным отображением GF → K, авторы строят, исходя из версальных торсоров для групп K и G над полем E и соответствующей F-точки на первом из них, G-торсор, F-точки которого задают в точности все гомоморфизмы GF → G, поднимающие данный гомоморфизм в K. Получается многообразие над F, имеющее F-точку тогда и только тогда, когда задача подъема разрешима (называется splitting variety). Дальше можно доказывать разрешимость некоторых задач подъема для числовых полей, пользуясь локально-глобальными принципами и сведением к локальным полям, или даже, иногда, для произвольных полей, предъявляя искомую точку явными формулами.

Я бы (следуя своим идеям сентября-декабря 2003 года, в ЖЖ по ссылке выше) попробовал подойти проще. Рассмотрим версальный торсор для группы H над полем E, и редуцируем его до K-торсора (профакторизуем тотальное пространство по действию ядра гомоморфизма групп H→K). Если можно предъявить G-торсор над тем же базовым многообразием, редукцией которого является полученный таким образом K-торсор, основная задача некоммутативной теории Куммера для групп G → H → K разрешима над полем E. В построении такого G-торсора, возможно, и заключаются "явные формулы" из последней фразы предыдущего абзаца.

P.S.: см. также предыдущие постинги про операции Масси и проч. (с которых теперь, за прошествием времени, снят замок)
http://posic.livejournal.com/1076714.html
http://posic.livejournal.com/1077017.html
http://posic.livejournal.com/1080700.html
и далее pdf-файл письма по ссылке.
Tags: math8
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments