Неформальный семинарчик по моей науке (задумка на следующий семестр)
Можно было бы ответить, наконец, на вопрос, к чему мы стремимся, объявив на первой или второй лекции примерно такую программу:
Вот есть математика, как она видится из алгебры, как она видится из гомологической алгебры (скажем так условно). Проект состоит в том, чтобы умножить ее, математику, примерно, на два. Ну, или там на четыре -- в общем, какой-то такой множитель.
Условно говоря, в гомологической алгебре имеются центральные понятия, такие как
пучки
модули
производные категории
DG-алгебры
каковые предлагается научиться заменять соответственно, на (снизу вверх)
CDG-алгебры
копроизводные и контрапроизводные категории
комодули и контрамодули
копучки
а также научиться смешивать новое со старым, добавляя
полупроизводные категории
полумодули и полуконтрамодули
и так далее. Это должно дальше специализироваться и ветвиться в частные случаи, такие как модульные объекты над группами и алгебрами Ли, коммутативными кольцами, локальными кольцами, комплексом де Рама и его обобщениями т.д., А-бесконечность структуры, производная кошулева двойственность, контрагерентные копучки и коконструктивные копучки, полубесконечные вещи и т.д.
Зачем все это нужно, совершенно неизвестно. Это такая открылась дверь в какой-то новый мир. Никто не знает, что там есть. Народ сейчас помаленьку в эту дверь проникает и чего-то там обнаруживает (матричные факторизации, например), но масштабы этого проникновения и этого уже обнаруженного несопоставимы с тем, что там, за этой дверью, потенциально может быть найдено.
Предлагается развивать теорию перечисленных выше объектов, или какие-то ее конкретные подразделы, имея в виду тот или иной спектр чаемых приложений, но следуя прежде всего внутренней структуре и логике самих этих теорий. И там, глядишь, какие-нибудь приложения да найдутся.
Помимо рассказа о вышеперечисленных понятиях, можно еще обсудить некий спектр побочных сюжетов, таких как
- точные категории (аксиомы, теорема вложения, производные категории, ...)
- модельные категории (произвольные, стабильные, абелевы, точные, ...)
- теоретико-множественные методы (SAFT, представимость Брауна, ковариантная представимость Брауна, локально представимые и достижимые категории, small object argument, кофибрантно порожденные и комбинаторные модельные категории, ...)
- гомологические задачи мотивного происхождения (под главным лозунгом: выше мы видели, к чему приводит стремление к общности -- а вот, наоборот, к чему приводит поиск очень хороших особенных случаев)
- ... что-то еще?
+ что студенты предложат интересного
Вот есть математика, как она видится из алгебры, как она видится из гомологической алгебры (скажем так условно). Проект состоит в том, чтобы умножить ее, математику, примерно, на два. Ну, или там на четыре -- в общем, какой-то такой множитель.
Условно говоря, в гомологической алгебре имеются центральные понятия, такие как
пучки
модули
производные категории
DG-алгебры
каковые предлагается научиться заменять соответственно, на (снизу вверх)
CDG-алгебры
копроизводные и контрапроизводные категории
комодули и контрамодули
копучки
а также научиться смешивать новое со старым, добавляя
полупроизводные категории
полумодули и полуконтрамодули
и так далее. Это должно дальше специализироваться и ветвиться в частные случаи, такие как модульные объекты над группами и алгебрами Ли, коммутативными кольцами, локальными кольцами, комплексом де Рама и его обобщениями т.д., А-бесконечность структуры, производная кошулева двойственность, контрагерентные копучки и коконструктивные копучки, полубесконечные вещи и т.д.
Зачем все это нужно, совершенно неизвестно. Это такая открылась дверь в какой-то новый мир. Никто не знает, что там есть. Народ сейчас помаленьку в эту дверь проникает и чего-то там обнаруживает (матричные факторизации, например), но масштабы этого проникновения и этого уже обнаруженного несопоставимы с тем, что там, за этой дверью, потенциально может быть найдено.
Предлагается развивать теорию перечисленных выше объектов, или какие-то ее конкретные подразделы, имея в виду тот или иной спектр чаемых приложений, но следуя прежде всего внутренней структуре и логике самих этих теорий. И там, глядишь, какие-нибудь приложения да найдутся.
Помимо рассказа о вышеперечисленных понятиях, можно еще обсудить некий спектр побочных сюжетов, таких как
- точные категории (аксиомы, теорема вложения, производные категории, ...)
- модельные категории (произвольные, стабильные, абелевы, точные, ...)
- теоретико-множественные методы (SAFT, представимость Брауна, ковариантная представимость Брауна, локально представимые и достижимые категории, small object argument, кофибрантно порожденные и комбинаторные модельные категории, ...)
- гомологические задачи мотивного происхождения (под главным лозунгом: выше мы видели, к чему приводит стремление к общности -- а вот, наоборот, к чему приводит поиск очень хороших особенных случаев)
- ... что-то еще?
+ что студенты предложат интересного