Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Новое определение производных категорий второго рода?

Будем говорить, что абелева категория A с бесконечными произведениями (т.е., удовлетворяющая Ab3*) удовлетворяет Ab4.5*, если для любой проективной системы комплексов Cα над A, занумерованной элементами α вполне упорядоченного множества I, такой что для любого α ∈ I отображение Cα → limβ<α Cβ сюръективно, а ядро его является ацикличным комплексом, проективный предел limα∈I Cα тоже является ацикличным комплексом. Нетрудно убедиться, пользуясь индукцией по I, что достаточно проверять это условие для трехчленных комплексов (коротких точных последовательностей).

Легко видеть, что аксиома Ab4.5* сильнее Ab4* (точности бесконечных произведений), но слабее Ab5* (точности направленных проективных пределов). Категории абелевых групп/модулей над кольцом/диаграмм/функторов/аддитивных функторов в абелевы группы/в категории, удовлетворяющие Ab4.5*/... удовлетворяют Ab4.5*. Любая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов удовлетворяет Ab4.5*. Соответственно, любая абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет двойственной аксиоме Ab4.5 (про индуктивные пределы).

Контрпример абелевой категории, удовлетворяющей Ab4*, но не Ab4.5*, предъявлялся в известной истории с "опровержением теоремы 61-го года в гомологической алгебре" (http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002220100197 ); потом выяснилось, что вопрос упирается в наличие множества образующих (http://jlms.oxfordjournals.org/content/73/1/65.short ), но при этом речь шла только о проективных пределах последовательностей (индексированных натуральными числами). Следует ли Ab4.5* из Ab4* при наличии множества образующих, я не знаю.

Более общим образом, пусть E -- точная категория. Будем называть проективную систему Xα в категории E, индексированную элементами вполне упорядоченного множества I, миттаг-леффлеровой, если для любого α ∈ I проективный предел limβ<α Xβ существует в категории E, а отображение Xα → limβ<α Xβ является допустимым эпиморфизмом.

Точная категория E называется точной категорией с точными миттаг-леффлеровыми проективными пределами, если любая миттаг-леффлерова проективная система в E имеет проективный предел, и функтор проективного предела переводит почленно точные короткие последовательности (или почленно точные/ацикличные комплексы) миттаг-леффлеровых проективных систем в, соответственно, короткие точные последовательности (или точные/ацикличные комплексы) объектов E. В такой точной категории, проективный предел limα∈I Xα (в обозначениях выше) называется трансфинитно-итерированным расширением объектов ker(Xα→limβ<αXβ) в смысле проективного предела.

Пусть теперь DG -- точная DG-категория, такая что точная категория DG# имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы (или, что, видимо, эквивалентно, по крайней мере, в предположении идемпотентной замкнутости, точная категория Z0(DG) имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы). Определим по-новому контрапроизводную категорию Dctr(DG) как факторкатегорию гомотопической категории H0(DG) по толстой (на самом деле, даже колокализующей) подкатегории объектов, гомотопически эквивалентных трансфинитно-итерированным расширениям в смысле проективного предела в точной категории Z0(DG) конусов тождественных отображений в DG-категории DG.

Например, тотализация точной тройки в Z0(DG) является расширением двух конусов тождественных отображений (крайних объектов в точной тройке, с точностью до сдвига); так что контраацикличные объекты в смысле моего старого определения являются также контраацикличными в смысле вышеприведенного нового. Вот еще один вариант определения, потенциально расширяющий класс контраацикличных объектов еще сильнее: контрапроизводная категория есть факторкатегория гомотопической категории по толстой/колокализующей подкатегории всех объектов, которые можно получить из нулевого объекта с помощью операций перехода к трансфинитно-итерированному расширению в смысле проективного предела в Z0(DG) и перехода к изоморфному объекту в H0(DG) (т.е., к гомотопически эквивалентному объекту в DG).

Как было, по существу, объяснено в предыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1023730.html , контраацикличные объекты (даже в смысле самого расширительного, последнего определения) ортогональны справа в H0(DG) всем объектам DG, проективным в DG# (здесь важно, что трансфинитно-итерированные расширения в Z0(DG) остаются таковыми в DG#). Образуют ли эти две триангулированные подкатегории, H0(DGproj) и Acyclctr(DG), полуортогональное разложение гомотопической категории H0(DG) ?
Tags: math8
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments