Пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо и J -- CDG-модуль над (B,d,h), инъективный как градуированный B-модуль.
Лемма. Класс CDG-модулей X над (B,d,h), ортогональных слева к J в гомотопической категории CDG-модулей (т.е., таких X, что комплекс абелевых групп HomB(X,J) ацикличен) замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений (в смысле прямого предела).
Здесь объект Y называется трансфинитно-итерированным расширением объектов Xα в абелевой категории A с точными направленными прямыми пределами, если можно вполне упорядочить множество индексов α и задать на Y фильтрацию подобъектами Yα ⊂ Y, так что каждый подобъект Yα содержит сумму всех подобъектов Yβ с β < α и факторобъект Yα/∑βYβ изоморфен Xα, а сумма всех подобъектов Yα в Y равна Y.
Доказательство: по нынешним временам, это утверждение можно вывести целым рядом разных способов. Например, в сущности, именно оно имплицитно доказывается в аргументе Д.А. про компактную порожденность копроизводной категории CDG-модулей в случае нетерова градуированного кольца B (градуированно-инъективный CDG-модуль J, ортогональный конечно-порожденным CDG-модулям, ортогонален всем CDG-модулям вообще).
Другое рассуждение можно найти в статье по ссылке: рассмотрим абелеву категорию CDG-модулей над B. Конус K тождественного эндоморфизма CDG-модуля J является в ней инъективным объектом, так что имеется отрезок инъективной резольвенты 0 → J → K → J[1] → 0. Вычисляя с его помощью группу Ext1 в нашей абелевой категории из произвольного CDG-модуля X в J, мы обнаруживаем ее изоморфной группе гомоморфизмов в гомотопической категории CDG-модулей из X в J[1]. Остается воспользоваться леммой 1 из статьи Eklof-Trlifaj "How to make Ext vanish", утверждающей, что класс объектов Ab5-категории, Ext1-ортогональных слева к фиксированному объекту/классу, замкнут относительно трансфинитно-итерированых расширений.
Но самое лучшее, прямое доказательство основано на следующем общем утверждении о проективных пределах комплексов абелевых групп.
Факт. Пусть Cα -- проективная система комплексов абелевых групп, индексированная вполне упорядоченным множеством I. Предположим, что для любого α ∈ I отображение Cα → limβ<α Cβ почленно сюръективно. Тогда если ядра таких отображений являются ацикличными комплексами для всех α (или, что все равно, если все комплексы Cα ацикличны), то и комплекс limα∈I Cα ацикличен.
Чтобы вывести из этого факта утверждение леммы, достаточно положить Cα = HomB(Yα,J) и отметить, что limβ<α Cβ = HomB(limβ<αYβ, J), так что отображение Cα → limβ<α Cβ является сюръективным морфизмом комплексов с ядром HomB(Xα,J).
Хорошо это доказательство тем, что оно позволяет таким же образом получить и двойственное утверждение к лемме. Пусть P -- CDG-модуль над (B,d,h), проективный как градуированный B-модуль.
Лемма*. Класс CDG-модулей X над (B,d,h), ортогональных справа к P в гомотопической категории CDG-модулей (т.е., таких X, что комплекс абелевых групп HomB(P,X) ацикличен) замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле обратного предела.
Здесь объект Y называется трансфинитно-итерированным расширением объектов Xα в смысле обратного предела в абелевой категории A с бесконечными произведениями, если можно вполне упорядочить множество индексов I = {α} и подобрать проективную систему объектов Yα в A, так что морфизмы Yα → limβ<α Yβ сюръективны с ядрами Xα, а проективный предел limα∈I Yα изоморфен Y.
Чтобы доказать лемму*, достаточно отметить, что функтор HomB(P,−) переводит трансфинитно-итерированные расширения в смысле обратного предела в абелевой категории CDG-модулей над B в такие же трансфинитно-итерированные расширения в категории комплексов абелевых групп.