Все рассуждения из предпредыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html должны применяться к "большим" категориям Fk+, Fk+/lr, Fk/lr+ (с плюсами в верхних индексах), а не к "малым" аналогичным категориям (без плюсов). При этом основная гипотеза для категории Fk/lr+ эквивалентна основной гипотезе для категории Fk/lr, что должно быть нетрудно показать с помощью следующей леммы.
Лемма. 1) Любой объект Fk/lr+ является направленным прямым пределом диаграммы объектов из Fk/lr и допустимых мономорфизмов между ними. В частности, через любой допустимый эпиморфизм в Fk/lr+ на объект из Fk/lr можно пропустить допустимый эпиморфизм в Fk/lr, так что функтор Fk/lr → Fk/lr+ индуцирует изоморфизмы всех групп Ext.
2) Теми же свойствами обладает вложение точной категории k/lr-конечно порожденных k/lr-свободных дискретных Γ-модулей над k/lr (которую, может быть, лучше было бы обозначать через Ak/lr, как это когда-то предполагалось -- http://posic.livejournal.com/1000074.html ) в точную категорию всех k/lr-свободных дискретных Γ-модулей над k/lr (которую мы обозначали через Ak/lr, но лучше, может быть, было бы обозначать через Ak/lr+).
3) В обозначениях предыдущего пункта, функторы Ext в категориях Fk/lr+ и Ak/lr+ переводят бесконечные прямые суммы по первому аргументу в бесконечные произведения.
4) В тех же обозначениях, функторы Ext из объектов подкатегорий Fk/lr и Ak/lr в категориях Fk/lr+ и Ak/lr+ переводят бесконечные прямые суммы по второму аргументу в бесконечные прямые суммы.
Трудность с доказательством утверждений 1-2 (и основанного на них 4) для коэффициентов k видится в том, что косвободные k-комодули конечного ранга не являются конечно-порожденными k-модулями, а в категории свободных k-контрамодулей бесконечные прямые суммы не коммутируют с забывающим функтором в абелевы группы, в связи с чем обычный аргумент типа "комодуль над коассоциативной коалгеброй над полем является объединением своих конечномерных подкомодулей" не проходит. Для коэффициентов k/lr этих проблем нет, и аргумент, как представляется, должен проходить.
Теперь рассуждения, подобные рассуждениям из предыдущего постинга, только протекающие целиком в рамках категорий "с плюсами", должны позволить доказать, в предположении индукции по m и основной гипотезы для точной категории Fk/l+, инъективность отображений ExtFk+/lr2(X/lr,Y/lr) → ExtFk/lr+2(X/lr,Y/lr).
Update: В пункте 2) все же "теми же свойствами обладает" надо понимать приблизительно -- скажем, не в части первой, но в части второй фразы пункта 1). Возможность пропустить допустимый эпиморфизм можно показать, например, пользуясь существованием проективных объектов в категории модулей над конечной группой (и тем, что во всяком объекте из Ak/lr группа Γ действует через свою конечную факторгруппу). Или можно сравнить обе категории с соответствующими категориями произвольных (не обязательно k/lr-(ко)свободных) Γ-модулей над k/lr.
Собственно, пункт 2) нужен только для того, чтобы выводить из него соответствующее утверждение в пункте 4), которое можно доказать и прямо -- скажем, воспользовавшись тем, что в Ak/lr+ достаточно инъективных объектов и их класс замкнут относительно бесконечных прямых сумм.
С другой стороны, в пункте 1) как таковом (совершенно ключевое во всем этом построении) первое утверждение нужно проверить руками -- типа, индукцией по числу нетривиальных компонент присоединенного фактора по фильтрации и т.п.