Мы сохраняем обозначения и терминологию постинга http://posic.livejournal.com/1000074.html . Теорема 1. Если основная гипотеза выполняется для точной категории F k (см. также дополнительные предположения ниже), то она выполняется и для точной категории F k/l r . Доказательство. Функтор забывания фильтраций индуцирует гомоморфизм из длинной точной последовательности Ext F k n (X,Y) → Ext F k n (X,Y) → Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext F k n+1 (X,Y) → в длинную точную последовательность Ext A k n (X,Y) → Ext A k n (X,Y) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k n+1 (X,Y) → для всех объектов X, Y ∈ F k (см. ранний постинг http://posic.livejournal.com/992481.html и утверждение 1 леммы из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1000410.html ). Рассмотрим частный случай пары объектов X ∈ E k 0 и Y ∈ E k 0 (m) ⊂ F k . Согласно 5-лемме можно заключить, что отображение Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) является изоморфизмом для n < m и мономорфизмом для n = m. При этом для сюръективности этого отображения при n = m достаточно сюръективности отображения Ext A k n (X,Y) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ). А при n > m группа Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) зануляется. Принимая во внимание, что, как мы знаем, отображение Ext A k n (X,Y) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) сюръективно при n = m = 0 (см. лемму из черновика http://posic.livejournal.com/991804.html ) и предполагая дополнительно, что оно сюръективно при n = m = 1 (ср. Update внизу постинга по верхней ссылке), можно заключить, что отображение Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) является изоморфизмом для n ≤ min(1,m) и мономорфизмом для n = 2. Вспомним теперь, что функтор F k /l r → A k/l r разлагается в композицию точных функторов F k /l r → F k/l r → A k/l r , так что и отображение Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) разлагается в композицию Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext F k/l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ). Из предыдущего абзаца (вместе с теоремой 3.1(2) из статьи Mixed Artin-Tate motives..., примененной к категории F k/l r ) следует, что отображение Ext F k /l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext F k/l r n (X/l r ,Y/l r ) является изоморфизмом для n ≤ 1 и мономорфизмом для n = 2 (при всех m). Далее, заметим, что всякий объект категории F k /l r , по построению, допускает каноническую конечную фильтрацию с присоединенными факторами из своих полных точных подкатегорий E k 0 (j)/l r ⊂ F k /l r , эквивалентных, согласно утверждению 2 леммы из предыдущего постинга, полным точным подкатегориям E k/l r (j) ⊂ F k/l r , играющим аналогичную роль в точной категории F k/l r . Согласно лемме 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives..., можно заключить, что функтор F k /l r → F k/l r является эквивалентностью точных категорий. Теперь у нас есть длинная точная последовательность Бокштейна, связывающая группы Ext между любыми объектами, приходящими из F k , в точных категориях F k и F k/l r . Наконец, расширяя наши дополнительные предположения до того, чтобы отображение Ext A k n (X,Y) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) было сюръективно для всех X ∈ E k 0 , Y ∈ E k 0 (m) и n = m, мы можем сделать вывод, что отображение Ext F k/l r n (X/l r ,Y/l r ) → Ext A k/l r n (X/l r ,Y/l r ) является изоморфизмом для всех n ≤ m, что и требовалось.