Совершенные кольца

Весной 1999 года, придумав определение того, что стало потом называться контрапроизводной категорией, я задался самым естественным, как тогда казалось, в этом контексте вопросом: над какими кольцами бесконечные произведения проективных модулей являются проективными модулями? Я пошел в библиотеку IAS и обнаружил, что вопрос этот распадается на самом деле на два.

Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).

Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.

Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.

Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.

Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.

Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.

Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.

На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.

В Праге льет как из ведра

и не первый час уже. Яндекс-погодная карта сообщает, что сплошная полоса дождя протянулась от Щецина и Торуни через Берлин и Мюнхен до Берна и дальше.

К предыдущему

В мейнстримной экономике есть популярное понятие о good и bad equilibrium. На мой взгляд, оно практически бессмысленно. "Плохой эквилибриум" имеет место не потому, что жизнь неудачно сложилась, а потому, что "хорошего" не существует -- а то, что могут предполагать таковым неискушенные наблюдатели, на самом деле "эквилибриумом" не является, поскольку не устраивает по крайней мере одну из участвующих сторон.

Так и в данном случае. Я понимаю, что мужчина 46 лет, целиком погруженный в переживания прошлого, заменяющие ему планы на будущее, производит странное впечатление -- особенно, если это математик, недавно устроившийся на полупостоянную работу в одной из европейских столиц и т.д. Но мои планы на будущее, в чем бы они ни состояли, действительно никак не пересекаются с журналом Advances in Mathematics и ему подобными.

В 2010-11 годах мне хотелось опубликовать некоторые из моих тогдашних работ в престижных изданиях; и в самом деле, если бы мои статьи вышли из печати в 2011-12 годах в JAMS, Crelle's и Publ. IHES (например), или даже, в другом варианте, скажем, в Advances и Duke и т.д. -- мне кажется, что моя жизнь в последующие годы могла бы сложиться несколько счастливее.

Теперь мне все равно; и даже акт посылания очередного отлупа очередной редакции не доставляет удовольствия. Нет впечатления, что на данном этапе моей, с позволения сказать, карьеры публикация в том или ином престижном издании что-либо изменила бы. Как нет у меня, на мой взгляд, и работ, которые реалистически могли бы быть приняты к печати в Advances или каком-то еще подобном издании. Никогда не было и сейчас нет, и на будущее не планируется.

Нет никакого "хорошего эквилибриума", в рамках которого я рецензировал бы для Advances, а они бы меня печатали. Впрочем, конечно, при любых обстоятельствах я все равно продолжал бы свой бойкот и посылал бы свои отлупы, просто потому, что единожды взялся за гуж. Это не значит, что никакое примирение невозможно вообще и в принципе. Но начаться оно может только с того, что редакция Advances признает себя виновной в халатном отношении к моей работе.

Стандартный ответ на ставший стандартным вопрос

My paper was rejected by Advances in Mathematics in 2011. I do not review for journals that would not publish my own work.

Очень тупые эти Адвансыз. Благополучно позабыв про мое существование на семь лет после февраля 2012 года, они теперь о нем вспомнили -- и никак не могут выучить, что я для них не рецензирую.

Re Plácido Domingo

Напоминаю, что антидискриминационное законодательство несправедливо по сути своей и должно быть отменено целиком, включая запреты дискриминации по полу и расе по месту работы, в образовательных учреждениях, и т.д. Соответственно, не должно быть никаких государственных законов, запрещающих начальникам делать интимные предложения подчиненным.

К сожалению, я с трудом вспоминаю единственный, что ли, раз в жизни, когда я был в опере, т.е. я в этом деле совсем не разбираюсь и ставить ссылки на записи Пласидо Доминго не решусь. Заявляю о солидарности с теми, кто ставит сейчас такие линки.

Выражаю в очередной раз надежду, что люди доброй воли, впечатлившись происходящим, укажут, наконец, феминисткам их место -- в частности, в форме выдвижения и голосования за правых кандидатов на выборах (таких, например, которые поддержат отмену антидискриминационного законодательства).

Ситуация в Москве

драматична, но обнадеживающей она отнюдь не выглядит, и обозримые перспективы представляются вполне безрадостными. То есть, скажем условно, если к 2025 году режим реально сменится и обстановка нормализуется, это будет очень даже неплохой результат. Да хоть бы и к 2030.

Выходящие на несанкционированные публичные акции в этих условиях -- герои; и разумеется, правда и справедливость всецело на их стороне. Но то, как обращаются с ними полиция и власти, гораздо более возмутительно, чем удивительно.

- Почему в России все люди ненавидят друг друга?

- Потому, что амбиций много, а ресурсов мало. В результате все стремятся осуществлять свои проекты за чужой счет. А никак иначе они и не осуществимы, по большей части.
- Правда ли, что корень проблемы в том, что русские не умеют договариваться "о границах", и вообще, разговаривать и договариваться между собой? Потому и не знают, где свое, где чужое?
- Нет, неправда. Правда в том, что честные договоренности невозможны между людьми, чьи интересы несовместимы, а намерения каждого состоят в том, чтобы решить свои проблемы за счет других. Любые разговоры и договоренности в таких условиях становятся средством противостояния и эксплуатации, так же, впрочем, как и отказ от разговоров и договоренностей. Это общая ситуация -- когда люди чего-то не слишком трудного на протяжении длительного времени систематически не умеют, причина обычно в том, что им это не нужно.
- Что может помочь исправить ситуацию?
- Помочь может то, что у русских проснется совесть и они перестанут стремиться осуществлять свои проекты за чужой счет. После этого проблема проведения границ между своим и чужим спустится с экзистенциального на технический уровень и будет сравнительно легко разрешима.
- Разве есть идеальный способ провести границы владений?
- Идеального способа нет, но он и не требуется, нужен просто разумно приемлемый. Люди, стремящиеся жить за свой счет, заинтересованы в том, чтобы разумно приемлемым образом провести границы владений и впредь соблюдать их. Люди, предпочитающие жить за чужой счет, заинтересованы в том, чтобы никаких устойчивых границ владений не было, а был вечный процесс их перекраивания с отъемом и дележкой, осуществляемыми под теми или иными предлогами. В современной России доминируют вторые.
- Разве "провести границы владений и впредь соблюдать их" -- это не то же самое, что "разговоры и договоренности"?
- Нет, конечно. Разговоры как таковые пригодны как средство вечной перекройки любых границ в не меньшей -- на самом деле, в большей степени -- чем как средство их соблюдения. Вообще, к разговорам на неотвлеченные темы стремятся те, кто считают, что у них лучше других язык подвешен, или кому удалось занять господствующие над местностью риторические высоты.
- Молчание предпочтительней разговоров?
- Смотря, какие разговоры и какое молчание. Предпочтительно, еще раз, чтобы в людях проснулась совесть. Пока этого нет, идет -- и будет идти -- война всех со всеми; и разговоры "о границах", так же, как и любые другие разговоры, будут оставаться тактико-стратегическим инструментом ведения такой войны.
- Ну хорошо, а на Западе что происходит? Там доминируют люди, у которых совесть?
- Это стандартный вопрос со стандартным ответом. Все везде очень плохо, и на Западе, в частности, все очень плохо -- а в России еще гораздо хуже. Если не все, то почти все. Но это банальность.
- Да, это банальность.

"Биби, это такой израильский Путин"

Сколько агрессивных войн спровоцировал и развязал Нетаниягу? Сколько сжег деревень, сколько сровнял с землей городов? Сколько выборов сфальсифицировал? Сколько убийств своих политических оппонентов организовал? Сколько политически мотивированных, заведомо неправосудных приговоров политическим оппонентам Нетаниягу вынесли израильские суды под диктовку функционеров из нетанияговской администрации?

... Размягчением мозга каким-то нужно страдать, чтобы проводить эту, с позволения сказать, аналогию. Что применительно к Нетаниягу, что к Трампу, что к современным европейским "альтернативным правым" правительствам.

https://www.facebook.com/evgeny.neimer/posts/10157420502667974?comment_id=10157420952712974