«Если счастье станет национальной валютой, какая работа сделает вас богатым?»

https://antimeridiem.livejournal.com/1076321.html

Доказательство теорем про контрамодули, очевидно. Плюс написание статей про контрамодули и чтение лекций про контрамодули (и смежные вопросы). В общем, то, чем я сейчас занимаюсь.

Когда/если контрамодули полезут из ушей, переключусь на какую-то следующую тематику. Контрагерентные копучки, например (временно отставленные в сторону еще в 2015 году).

Com и Lie

Как известно, операда Com двойственна по Кошулю к операде Lie. Поэтому между подходящими категориями коммутативных алгебр и алгебр Ли имеется эквивалентность.

Можно взять какой-нибудь учебник коммутативной алгебры, учебник по основам теории алгебр Ли и сравнить. Ничего общего.

В этом состоит известный парадокс. Разрешается он тем, что (оставляя в стороне разницу между алгебрами и коалгебрами и другие тонкости) кошулева двойственность означает эквивалентность между категориями коммутативных DG-алгебр и DG-алгебр Ли, а не просто алгебр в когомологической градуировке ноль.

К чему было это введение? К тому, что двенадцать дней назад Journal of Lie Theory принял к печати мою статью про гладкую двойственность (не путать с кошулевой двойственностью! гладкая двойственность есть разновидность ко-контра соответствия). А сегодня Journal of Commutative Algebra принял к печати статью трех авторов (один из них я) про вполне плоские модули.

В первой из двух работ контрамодули играют ключевую роль. Во второй работе контрамодули не упоминаются, но она основана на результатах предшествующей работы, в доказательствах которых, в той предшествующей работе, контрамодули играют ключевую роль.

В остальном между двумя статьями нет ничего общего, не считая вышеупомянутой двойственности между операдами Com и Lie.

Ну вот, значит это получается тридцать восьмая рецензированная публикация в моей жизни. И одиннадцатая принятая к печати работа за четырнадцать месяцев, что я живу постоянно в Праге.

Relative nonhomogeneous quadratic duality

https://arxiv.org/abs/1911.07402

81 страница, и это очень неполная версия -- из запланированных девяти разделов, присутствуют только четыре. Эквивалентности категорий колец (неоднородных кошулевых колец и кошулевых CDG-колец над базовым кольцом) прописаны в разных вариантах, но эквивалентностей производных категорий модулей пока нет.

Неполнота эта отражена в названии препринта. Почему-то я привык пользоваться терминологией, в которой Koszul duality означает производную кошулеву двойственность в том или ином смысле слова -- в общем, эквивалентность категорий модулей (комодулей, контрамодулей...) или колец (коалгебр, и т.д.), рассматриваемых с точностью до какой-то разновидности квазиизоморфизма.

(Disclaimer: понятно, что не всякая производная эквивалентность является кошулевой двойственностью, конечно. Есть еще комодульно-контрамодульное соответствие, да и мало ли, что еще.) Но когда квазиизоморфизмов нет, а есть просто соответствие между квадратичными или кошулевыми алгебрами или модулями с обеих сторон, я называю это quadratic duality.

Соответственно, когда эквивалентности производных (копроизводных, контрапроизводных...) категорий модулей там появятся, слово quadratic в названии работы предполагается заменить на Koszul.

Контрамодули, они повсюду

В алгебраической геометрии (контрагерентные копучки, называется*). В около-геометрической теории представлений групп и алгебр Ли в московском стиле (полубесконечная гомологическая алгебра, называется). В теории представлений когда-то-конечномерных-алгебр в европейском стиле (наклонно-конаклонное соответствие, называется). В коммутативной алгебре (очень плоская гипотеза, сильно плоские модули и т.д.) В теории ассоциативных колец и модулей (гипотеза Енокса, называется).

(*: Если кто такой скептик, что его не впечатляют ни контрагерентные копучки, ни даже слабо искривленные алгебры, можно оставить контрамодули и взять копроизводные категории. Матричные факторизации, называется.)

Мне приятна возможность поработать и сделать что-то нетривиальное в столь многих разных областях алгебраической части математики. Продолжая при этом заниматься все теми же самыми своими излюбленными вещами, которыми я занимаюсь все последние двадцать лет, а можно так посмотреть, что и почти тридцать. Но под разными соусами.

При этом от модных сюжетов у меня отталкивание. Когда я писал про матричные факторизации, я чувствовал потребность как-то оправдывать это занятие перед самим собой. Придумались два оправдания -- во-первых, я все-таки использовал выпавшую возможность не себя лично прорекламировать, а идеи свои. Все те же самые, которые я развивал задолго до. А во-вторых, некоторые задачи про матричные факторизации были просто хороши как задачи, и позволили мне отшлифовать мои техники работы с производными категориями второго рода, которые потом использовались в самых разных работах. Так или иначе, я написал две статьи про матричные факторизации (в соавторстве) и ушел оттуда.

И, уж конечно, никоим образом меня не могли и не могут заинтересовать предложения занять какую-то подчиненную роль в чужом проекте, следовать в фарватере той или иной звезды. Положение мое может быть сколь угодно непростым, и бывало очень непростым (и люди помогали мне, за что им спасибо), но я сам себе звезда и проект у меня в математике свой собственный. Я занимаюсь тем, что максимально способствует, на мой взгляд, его развитию.

Однако, в моем возрасте хочется уже общаться с людьми по науке. А не только год за годом стучать по клавиатуре, уткнувшись в свой монитор. Собственно, с годами это становится все более необходимым -- поскольку человек смертен, а даже самый лучший текст жив постольку, поскольку существует традиция его чтения. При этом я человек упрямый. Москвичи (кроме студентов) не заинтересовались контрамодулями -- и я уехал в Прагу. Здесь меньше конкуренции и больше потребности в сотрудничестве, и людям интересно то, что я имею предложить.

Предыдущий постинг

не означает, что я считаю гипотезу Енокса такой уж очень важной задачей. В частности, я не думаю, что она верна в полной общности (и не только я так не думаю). Но это хорошая стимулирующая задача для развития разных техник теории колец. На нынешнем этапе, похоже, даже очень хорошая.

Настоящие приложения контрамодулей -- такие, важность которых будет соответствовать важности понятия -- появятся, вероятно, уже не при моей жизни.

Если вообще имеет смысл говорить о таких настоящих приложениях, кстати. Ведь контрамодули -- это очень базовое понятие, примерно как модули, но ступенькой выше в лестнице абстраций.

Что такое "настоящие приложения модулей"? Важность которых соответствует важности понятия? Вся современная математика, или ее алгебраическая часть как минимум, написана на языке модулей. Без них ее просто невозможно себе представить.

Но приложения важны, чтобы посрамить скептиков. Чтобы контрамодули не были опять забыты. Чтобы описанный в предыдущем постинге способ заниматься математикой люди стали, наконец, воспринимать как легитимный. Не говоря уже, по большому счету -- самый правильный.

Чтобы продемонстрировать, в конце концов, базовый факт: настоящее развитие, и в том числе, математического научного знания, является продуктом долгосрочных частных инвестиций, помноженных на понимание, какие вещи и проекты стоят того, чтобы в них инвестировать. И на основанную на таком понимании готовность нести в частном порядке соответствующие риски.

Тридцать лет спустя

Наш проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса восходит к январю-февралю 2018 года. Три или четыре архивных препринта были обнародованы с лета 2018 по осень 2019 года в рамках этого проекта.

Проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса вырос из проекта по контрамодулям в теории наклонов, который восходит к январю 2016 года. Тот проект, в свою очередь, вырос из статьи про теории кокручения в локально представимых абелевых категориях, написанной осенью 2015 года. Та статья решала задачу, над которой я начал размышлять в 2012-13 годах, она нужна была мне для построения контрагерентных копучков контрамодулей.

Понятие контрагерентного копучка я придумал в апреле 2012 после трех лет размышлений; постановка задачи восходит к весне 2009 года. Задача эта возникла из поиска максимальной естественной общности для конструкции контрапроизводной категории, которую я придумал в марте-апреле 1999 года (термина тогда не было, слово такое появилось только во второй половине 00-х годов). Конструкции копроизводных и контрапроизводных категорий решали задачу, над которой я размышлял с 1992 года. Задачу эту мне подсказали как естественно возникающую в контексте моей конструкции неоднородной кошулевой двойственности, которая была придумана где-то весной 1990 года, мне кажется.

Весной 1990 года мне было 17 лет. Осенью 2019 года мне 46 с половиной лет. Первые сколько-нибудь впечатляющие результаты по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса появились вот только что, в ноябре 2019 года.