Еще раз о рецензионном бойкоте

Моя работа, отвергнутая несколькими престижными журналами, публикуется в непрестижном. После этого в престижный журнал подается работа других авторов, очевидно гораздо более слабая, чем отвергнутая моя. Эта работа присылается мне на рецензию.

Факт отвержения моей работы становится для меня с большим отрывом самым сильным впечатлением об уровне журнала, мою работу отвергнувшего. Более сильным впечатлением могло бы быть только, если бы этот журнал напечатал другую мою работу.

Должен ли я рекомендовать журналам, отвергнувшим мои работы, впредь отвергать все работы, в моих глазах, более слабые, чем отвергнутые ими мои? Если считать, как я считаю, что мои работы были отвергнуты глупо или злонамеренно, то есть, в любом случае, несправедливо и неправильно, то, поступая таким образом, я продолжал бы эту глупость и несправедливость. Рекомендовать же журналам печатать работы намного более слабые, чем отвергнутые ими мои, было бы и вовсе абсурдно.

В этом состоит один из множества способов объяснить неизбежность моей политики бойкота запросов о рецензировании, поступающих из редакций, отвергнувших мои работы.

Модуль с совершенным разложением, но не сигма-чисто-расщепимый

Придумал во время вечерней прогулки контрпример, теперь записываю. Это пример правого модуля F над кольцом R со следующими свойствами:

0. R является алгеброй над полем k;
1. F является модулем Шура над алгеброй R, т.е., у F нет R-линейных эндоморфизмов, помимо умножений на скаляры из k;
2. R-модуль F плоский;
3. R-модуль F содержит в качестве собственного подмодуля ненулевой плоский (на самом деле, даже проективный) R-модуль P, причем фактормодуль F/P -- тоже плоский R-модуль.

Из условий 1 и 3 следует, что P не является прямым слагаемым в F. Таким образом, R-модуль F имеет совершенное разложение (= разложение в прямую сумму локально T-нильпотентного семейства модулей), состоящее из единственного прямого слагаемого F. Но в то же время, R-модуль F не сигма-чисто-расщепим (и даже не чисто-расщепим), т.к. он содержит чистый подмодуль P, который не отщепляется.

Конструкция состоит из двух шагов.

Шаг I. Рассмотрим следующую категорию представлений бесконечного колчана с соотношениями. Вершины колчана занумерованы неотрицательными целыми числами 0, 1, 2, ... Представлением колчана является последовательность k-векторных пространств V0, V1, V2, ... вместе с линейными отображениями fi: Vi−1 → Vi и pi: Vi → V0, где i > 0, удовлетворяющими соотношениям pififi−1...f2f1 = idV0 для всех i > 0.

Очевидно, существует "большое кольцо" (= предаддитивная малая категория) A с объектами, занумерованными неотрицательными целыми числами, такое что представления нашего колчана суть в точности левые A-модули (= ковариантные k-линейные функторы из A в k-векторные пространства). Наша ближайшая цель -- построить некоторый плоский правый A-модуль G и в нем проективный правый A-подмодуль Q, такой что фактормодуль G/Q тоже плоский.

Каждый правый A-модуль N задает функтор тензорного произведения M → N ⊗A M на категории левых A-модулей. Это соответствие интерпретирует категорию правых A-модулей как полную подкатегорию в категории k-линейных функторов из левых A-модулей в k-векторные пространства, состоящую в точности из всех функторов, сохраняющих копределы. Чтобы построить правые A-модули G и Q, мы просто укажем соответствующие функторы из левых A-модулей (= представлений нашего колчана) в векторные пространства.

Правый А-модуль G соответствует функтору, сопоставляющему всякому представлению нашего колчана (Vi) такое векторное пространство -- прямой предел последовательности V0 → V1 → V2 → ... с отображениями fi. Этот функтор точен, поэтому правый A-модуль G плоский.

Правый A-модуль Q соответствует функтору, сопоставлющему всякому представлению (Vi) векторное пространство V0. Очевидно, Q -- это свободный правый A-модуль с одной образующей, сидящей в вершине номер 0.

Естественное отображение из пространства V0 в прямой предел последовательности (Vi) соответствует морфизму правых А-модулей Q → G. Теперь мы замечаем, что отображение векторных пространств, о котором идет речь -- всегда инъективно (для любого представления нашего колчана с соотношениями). Дело в том, что отображение fifi−1...f2f1: V0 → Vi всегда инъективно, поскольку является сечением отображения pi: Vi → V0.

Морфизм модулей, индуцирующий мономорфизм функторов тензорного умножения на эти модули -- является, по определению, чистым мономорфизмом. Поскольку модуль G плоский, отсюда следует, что модуль G/Q плоский тоже.

Теперь нужно проверить самое нетривиальное свойство -- что у правого A-модуля G нет автоморфизмов, кроме умножений на скаляры. Для этого достаточно убедиться в том, что автоморфизмов, отличающихся от умножений на скаляры, нет у функтора, сопоставляющего представлению колчана прямой предел пространств Vi. Для этого можно, например, сосчитать пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi для каждого n, а потом перейти к проективному пределу по n.

Суть дела в том, что мы специально НЕ наложили на представления нашего колчана соотношения коммутативности треугольных диаграмм: композиция pi+1fi+1 не равна отображению pi (при i > 0). Поэтому пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi бесконечномерно (со счетным базисом) для всех n > 0, но после перехода к проективному пределу по n от всего этого богатства остается только одномерное пространство скаляров.

Чтобы попасть из Vn в прямой предел Vi, можно пройти по отображениям f из Vn в VN для какого-то N ≥ n, вернуться в V0 по отображению pN, и дальше есть каноническое отображение из V0 в прямой предел. Все эти отображения разные (линейно независимые, вообще говоря) при разных N, и все они исчезают после перехода к проективному пределу по n → ∞. Остается только элемент проективного предела по n, составленный из канонических отображений из Vn в прямой предел.

Шаг II. Всякой "большой алгебре" (= k-линейной малой категории) А сопоставляется k-алгебра R следующим образом: берется прямая сумма векторных пространств Ai,j по индексам i, j, пробегающим все объекты A. В тривиальном случае, когда в A только конечное число ненулевых объектов, этого достаточно. В интересном же случае, когда в A бесконечно много ненулевых объектов, так получается ассоциативная k-алгебра без единицы. Нужно формально добавить к ней единицу (взяв прямую сумму с одномерным k-векторным пространством, натянутым на добавляемую единицу).

Далее, всякому (скажем, правому) A-модулю N сопоставляется (тоже правый) R-модуль, равный прямой сумме пространств Ni по всем объектам i категории A. Это вполне строгий, точный функтор mod-A → mod-R, сохраняющий копределы.

Наконец, нужно заметить, что наш функтор mod-A → mod-R переводит свободный модуль с одной образующей, сидящей в произвольном объекте категории A, в проективный R-модуль (прямое слагаемое свободного R-модуля с одной образующей). Ввиду теоремы Говорова-Лазара (сохраняющей силу для модулей над "большими кольцами"), отсюда следует, что наш функтор переводит плоские A-модули в плоские R-модули.

Остается применить функтор mod-A → mod-R к А-модулю G с подмодулем Q, чтобы получить искомый R-модуль F с подмодулем P.

Математическая география

Мир математических идей, по моему опыту, устроен так: имеются долины, и имеются разделяющие их горные хребты. Более-менее все долины кем-то населены -- всякую достаточно простую мысль кто-нибудь да подумал уже, кто-то ее разрабатывает. Но на хребет редко кто поднимется, так что коммуникаций между долинами мало. Потому так высоко ценятся нетривиальные связи между разными на вид сюжетами -- их известно гораздо меньше, чем нужно.

Мой способ заниматься математикой исторически состоял в том, чтобы время от времени переваливать из долины в долину, прокладывая коммуникации. Снизу мало что видно -- нужно подняться на вершину, чтобы увидеть, что там дальше. На уровне текстов, это значит, что нужно решить задачу размером с книгу -- т.е., написанное решение которой занимает книгу -- чтобы научиться ставить или решать новый ряд задач более обычного размера.

Начинал я с алгебр с образующими и соотношениями, и в частности, кошулевых алгебр. Гипотезу рациональности рядов Гильберта кошулевых алгебр я не доказал -- но обнаружил связь с теорией вероятностей, конструкцию случайной последовательности нулей и единиц по кошулевой алгебре. Гипотезу Милнора-Блоха-Като своим способом я не доказал тоже -- но про роль кошулевости в теории мотивов что-то там выяснил.

Задачу про производную неоднородную кошулеву двойственность мне удалось решить, однако. С этой вершины открылись виды на 1. экзотические производные категории и 2. контрамодули.

С другой стороны, это оказалась даже и не вершина, а ступенька на пути к более высокой точке -- полубесконечной гомологической алгебре. Чтобы подняться туда, мне пришлось, помимо многого прочего, разработать технику доказательства утверждений про производные категории второго рода, открывшую дорогу к приложениям к матричным факторизациям. Попутно появилось понятие контрамодуля над топологическим кольцом, и начал открываться вид на долину по ту сторону хребта -- ту, где специалисты по теоретико-множественной теории колец и модулей изучают и используют пары кокручения.

Осознание важности контрамодулей привело к постановке задачи про глобализацию их над схемами. Но потребовалось написать еще один книжного размера текст (про слабо искривленные алгебры) и потом приложение к нему про контрамодули над адическими пополнениями нетеровых колец, чтобы убедить себя, что такая глобализация действительно необходима и возможна.

В результате на свет появилось понятие контрагерентного копучка и забрезжила перспектива полубесконечной алгебраической геометрии. Последовал период осознания и преодоления технических препятствий на этом пути. Так был поставлен вопрос о парах кокручения в категориях контрамодулей, и были разработаны первые подходы к нему. Кроме того, была сформулирована гипотеза об очень плоскости плоских морфизмов схем. С этим надо было уже ехать в Брно и в Прагу, что я и сделал.

Кроме того, в контексте теории контрагерентных копучков была осознана идея "наивного ко-контра соответствия", за которой открывался вид на MGM-двойственность. С этим надо было ехать в Израиль, что я сделал тоже.

В Брно было придумано правильное решение задачи о парах кокручения в категориях контрамодулей, использующее современные теоретико-множественные средства. Заодно нам открылось, что есть такой важный класс абелевых категорий -- локально представимые абелевы категории с проективной образующей.

Так, начав свой путь почти тридцать лет назад в долине комбинаторной или компьютерной алгебры, я перевалил в долину алгебры теоретико-множественной, где теперь и нахожусь. Тут совсем неплохо, и весьма содержательные, подчас так и вполне нетривиальные, тексты пишутся и выходят из печати один за другим.

Возраст и силы уже далеко не те, но я думаю, что надо бы, пока я не состарился окончательно, успеть как-нибудь разгрести дела и написать или дописать еще один или два тяжелых текста размером с книгу. Может, еще на какую долинку вид откроется.

Прошлое и будущее

Некоторым людям хочется, чтобы будущее побыстрее наступило. Есть резон в том, что всякая текущая деятельность ориентирована на достижение результатов в будущем, а не в прошлом, которое уже нельзя изменить.

Но мне всегда почему-то инстинктивно хочется подольше задержаться в прошлом. Перейдя на новое место работы, начав получать финансирование из нового гранта и т.д., я почти всегда с какой-то задержкой переключаюсь на указывание этих новых параметров в своих препринтах и статьях. И с еще большей задержкой перестаю указывать старое место работы, старый грант и т.д.

В прошлом есть что-то надежное, несомненное. Оно, конечно, безвозвратно закончилось, но оно было, действительно было. Будущее сомнительно: будет ли оно, состоится ли, получится ли, как обещано и как планируется? Даже когда оно наступает и превращается в настоящее, в это как-то не сразу верится. Какое-то время по инерции продолжаешь сомневаться.

Пять лет назад, 17 марта 2014 года

я в первый раз в жизни приземлился в Праге. Теперь у меня здесь полупостоянная чисто исследовательская позиция в Математическом институте академии наук.

За эти пять лет, у меня появились восемь препринтов, написанных в соавторстве с четырьмя чешскими математиками. Три из них уже вышли из печати, один опубликован электронно на сайте журнала, два приняты к печати и два рассматриваются в редакциях.

Пять или шесть из этих восьми работ я называл бы важными. Они развивают идеи, над которыми я работал в предшествующие годы (в Москве, Бонне и т.д.) таким образом, как я никогда не смог бы их развить без сотрудничества с чешскими математиками из Брно и Праги.

В частности, из статей, уже доступных на сайтах журналов, можно отметить три:

https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.03.029
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.11.004
https://doi.org/10.1007/s00209-018-2116-z

а из принятых к печати, упомянутую здесь -- https://msp.org/scripts/coming.php?jpath=pjm .

Что же касается двух препринтов, до сих пор рассматриваемых в редакциях, то это, собственно, самые важные из этих восьми работ (и вообще, из моих работ последних лет). Вот они:

https://arxiv.org/abs/1708.00846
https://arxiv.org/abs/1710.02230

Люди очень хотят командовать другими

Женя Снежкина пишет:
Долгое время думала, что зеленые лучше коммунистов хотя бы тем, что они безвредные. Но нет.

Борис Львин в комменте ей отвечает:
Какая разница? Просто люди очень хотят командовать другими, признаваться самим себе в этом им неприятно, поэтому они придумывают себе теории о том, как все в мире будет плохо, пока они не начнут всем командовать, и все сразу станет хорошо, как только они начнут всем командовать. А после того, как нужная теория придумана, то она оправдывает любое насилие. Человечество ведь спасаем - лес рубят, щепки летят.

https://www.facebook.com/grigory.sapov/posts/10210484290782927
https://www.facebook.com/esnezhkina/posts/2345757205436531

Губерман

Всего слабей усваивают люди,
взаимным обучаясь отношениям,
что слишком залезать в чужие судьбы
возможно лишь по личным приглашениям.

***

Когда нас учит жизни кто-то,
я весь немею;
житейский опыт идиота
я сам имею.

Я памятник себе воздвиг или не воздвиг

Мне уже 46 лет, для математика это солидный возраст. Обо многом можно говорить в прошедшем времени. У моих идей, я надеюсь, есть будущее. У меня остается, в основном, прошлое.

Факт жизни состоит в том, что за рамки некоторой вспомогательности я так и не вышел. Я занимаюсь разработкой технических средств или попытками подготовить почву для дальнейшего развития.

За без малого тридцать лет я прошел длинный путь, пересекающий границы ряда областей алгебры или алгебраической части математики. Во всех этих областях, я пытался что-то углубить, прояснить, улучшить и усовершенствовать; заполнить лакуны в понимании, предложить то, что я считал недостающими идеями в дополнение к уже имеющимся, и т.д.

Я не пытался повести людей за собой. Мне не казалось, что я знаю, куда их вести. Я прокладывал путь одиночки, путь для себя одного. Который должен был повлиять на других, но не более того.

В конце концов, и контрамодули, которыми я занимаюсь в последние годы, в самом оптимистическом свете могут видеться как одна большая лакуна в современной алгебре или даже математике в целом, которую мне удалось или, может быть, удастся закрыть. О них можно думать как о недостающей идее или одной из недостававших идей в дополнение ко многим имевшимся и без меня.

Думать о них как о будущем математики не получается. Будущее математики должно быть чем-то существенно большим, чем просто контрамодули или контрапроизводные категории и т.д. Даже будущее гомологической алгебры должно быть чем-то большим. В лучшем случае, обо мне когда-нибудь скажут, что я преодолел одно из препятствий на дороге к этому будущему.

Сегодня обо мне говорят, что я разрабатываю некую технику. О контрамодулях говорят, что они -- полезный инструмент. Говорят и то, что идеи мои глубоки.

Я бы сказал, что работы современных математиков слишком часто поверхностны, и слишком частно мутны. Я стремился в своей работе к глубине и ясности, прозрачности. Если мне удастся повлять на математику в целом, или хотя бы на гомологическую алгебру в целом, в направлении достижения большей глубины и ясности -- это будет прекрасный результат.

Из вышесказанного ясно, что в обозримой перспективе меня ждет не более, чем крайне ограниченное признание. Разрыв между скромной текущей реальностью и далеко идущими амбициями слишком велик. Те плоды моих усилий, о которых мне мечтается, если и можно будет когда-нибудь видеть, то очень нескоро.