Две различалки (гомологическая алгебра)

В общем, короче, есть две оппозиции. Или, точнее, две тернарные альтернативы. С одной стороны:

(1) категории абелевы vs. точные vs. триангулированные.

С другой стороны:

(2) триангулированные категории vs. дериваторы vs. (бесконечность,1)-категории.

В пункте (2) к "дериваторам" и "(бесконечность,1)-категориям" полагаются какие-то эпитеты. "Стабильный сильный дериватор" или "стабильная (бесконечность,1)-категория" или как там они говорят. Я не очень в этом разбираюсь (неважно).

Можно еще "DG-оснащения" дополнительным вариантом в (2) добавить.

Мне интересен пункт (1). Есть длинный ряд разных конструкций "экзотической производной категории", позволяющих построить по абелевой или точной категории триангулированную. Есть конструкции эквивалентностей триангулированных категорий, происходящих из разных абелевых/точных категорий.

Скажем, есть две абелевые категории A и B. Построить эквивалентность между производными категориями A и B -- это одна задача, а построить эквивалентность между копроизводной категорией A и контрапроизводной категорией B -- совсем другая. Бывает, что обе эквивалентности существуют, но это совсем разные конструкции, зависящие от разных дополнительных данных и предположений.

Про пункт (2) я не пишу. По-моему, можно взять примерно любую мою работу, заменить всюду слова "триангулированная категория" на любую из альтернатив по пункту (2), и ничего не изменится. Разницы нет.

Не потому, что я считаю, что пункт (2) неважен. Конечно, он имеет немалое техническое значение. Но этим модным кругом вопросов занимаются немало сильных людей, которые прекрасно разберутся в нем без меня.

Семь лет назад (полубесконечная алгебраическая геометрия)

Идея написать эту статью, которую я сейчас пишу, возникла у меня в августе-октябре 2015 года, но собственно в содержании ее нет почти ничего такого, чего я не знал еще в 2013. Ну, кроме некоторых мелких деталей, примеров со ссылками на более поздние работы.

В общем, в принципе все это можно было написать семь лет назад, скажем, летом 2014 года в Беэр-Шеве и Реховоте. Свободное время у меня тогда было; идей, как его правильно использовать -- не было.

Другой вопрос, зачем. Кто прочел бы такую статью, если бы она была тогда написана? Что выросло бы из нее? Из препринта про контрагерентные копучки выросли моя работа про MGM-двойственность, задача о парах кокручения в категориях контрамодулей, очень плоская гипотеза... в конечном итоге, почти все мои занятия 2015-20 годов.

Что вырастет из этого текста теперь, тоже совершенно непонятно. Но творческим людям свойственна своя, особая смесь идеализма и прагматизма. По состоянию на 2013 год, у меня было более чем достаточно препринтов по алгебраической геометрии. Были трудности с их публикацией. В перспективе предстояла эмиграция и поиски работы.

Летом 2014 года вопрос вряд ли стоял о том, будет ли у меня к осени препринтом больше или препринтом меньше. Вопрос стоял о принятии жизненных решений и выстраивании стратегии на предстоявшие годы. Решение, которое было в итоге принято, подразумевало разворот от геометрии к алгебре и теории категорий.

При этом я продолжал вписывать проект "полубесконечной алгебраической геометрии" в планы своих исследований, составлявшиеся с административными целями и посылавшиеся в разные конторы. Теперь настало время, и я выполняю это обещание.

Quasi-coherent torsion sheaves, the coderived category, and the cotensor product

https://arxiv.org/abs/2104.05517 -- это еще только котензорное произведение, т.е., база расслоения. Полутензорное произведение (на тотальном пространстве) планируется в недалекой перспективе.

Философию см. во введении к препринту шестилетней давности (апреля 2015), опубликованному впоследствии в Selecta Math. (2017).

К предыдущему

В общем, ответов на все эти вопросы не существует. Маловероятно, что я увижу и узнаю их при жизни.

В конечном итоге, все это более волнительно, чем важно. Если десять человек пойдут путем, подобным моему, и одному из нас повезет, тоже будет неплохой результат.

А если не пойдут, то что ж я могу сделать? Я отвечаю за себя.

Теория контрамодулей как слишком сложная конструкция

Есть концепция, о которой я слыхал в контексте обсуждений проблемы безопасности атомных электростанций. Выступающие с этой позиции авторы (не помню имен) писали, что атомные электростанции слишком сложны для современной технологической культуры, и сделать их полноценно безопасными невозможно. Любая попытка предупредить какие-то угрозы, навесить дополнительную защиту, дополнительные уровни безопасности, ведет к возникновению новых непредвиденных опасностей и угроз, вытекающих просто из сложности многоуровневой конструкции, непредсказуемого взаимодействия ее элементов, непонимания ее устройства людьми, которые ее изготовляют и с ней работают, и т.д. Начиная с какого-то момента, попытки добавить безопасности добавляют опасностей вместо этого.

Так мне с годами все больше кажется, что мои попытки популяризовать и объяснить контрамодули упираются во в чем-то аналогичную проблему сложности материала, который не становится доступнее или понятнее от навешивания дополнительных уровней примеров и объяснений. Текстов становится все больше, каждый следующий ссылается на длинный ряд предыдущих, и читатель не столько получает возможность увлечься очередным аспектом теории, который вдруг окажется близок к его интересам, сколько тонет в море концепций и взаимосвязей. Все это сильно контринтуитивно, и накопление массы контринтуитивных результатов не делает разрастающуюся теорию ни более привлекательной, ни даже более полезной.

По-настоящему сильный читатель, если бы ему это зачем-то понадобилось, разобрался бы и в моих ранних текстах на эту тему -- по крайней мере, разобрался бы достаточно, чтобы осознать ключевые идеи. После этого ему пришлось бы разрабатывать последующие уровни теории самому, а так я сделал это за него и предлагаю пользоваться. Но сориентироваться в такой массе текста невозможно, а любой обзор, который я напишу, тоже окажется слишком длинным, непонятным, полным загадочных деталей, все равно охватывающим только часть материала, и в конечном итоге лишь добавляющим объема и сложности.

Нужны ли контрамодули в математике первой четверти XXI века? Или их время наступит через полвека, век, не наступит никогда, наука пойдет другим путем?