Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Мантра про кошулевость

Нечто вроде ответа на вопрос П.Д. на сегодняшнем моем докладе. Всегда знал, но на месте, как водится, не сообразил и не вспомнил.

Кошулевость когомологий чего-либо = (1) K(π,1)-ность этого чего-либо + (2) "квазиформальность" когомологий, в смысле отсутствия операций Масси в них.

Например, когомологии проконечной группы G с постоянными коэффициентами Z/l кошулевы титтк (1) они совпадают с когомологиями максимальной про-l-факторгруппы G(l) группы G и (2) операции Масси (в смысле высшие дифференциалы в спектралке от когомологий бар-конструкции когомологий к когомологиям бар-конструкции DG-алгебры, вычисляющей когомологии) тривиальны.

Доказательство (в конкретном случае проконечной группы): кошулевость => (1) прописано в моей работе про гипотезу Ф.Б.; кошулевость => (2) очевидно по соображениям размерности, там неоткуда и некуда бить этим дифференциалам; (1) + (2) влекут кошулевость -- достаточно рассмотреть случай, когда G -- про-l-группа, в этом случае когомологии бар-конструкции DG-алгебры, вычисляющей когомологии G = групповой коалгебре G (поскольку эта коалгебра конильпотентна; см. мой текст "Два рода производных категорий ..."), т.е. сосредоточены в градуировке 0, что и требуется.

Связь между кошулевостью и чистотой (в смысле весов, что в l-адических когомологиях/теории Ходжа/мотивах), видимо, идет через пункт (2). Если когомологии чисты, то операций Масси в них быть не может (поскольку они бы не сохраняли веса).

Я не вижу, как бы можно было выводить (1) из чистоты. Но может быть, во многих случаях K(π,1)-ность известна из других соображений. Например, МБК-гипотезу достаточно доказывать для случая, когда абсолютная группа Галуа -- про-l-группа (как следует из наличия трансферов в милноровской K-теории и когомологиях Галуа).

P.S. Попытка использовать эти соображения при доказательстве МБК-гипотезы и ее аналогов из соображений мотивных весов упирается в две очевидные проблемы: 1. нет весов для когомологий с конечными коэффициентами (это бы еще куда ни шло) и (главное) 2. нет чистоты для когомологий некомпактных многообразий -- например, когомологии общей точки кривой ни в малейшей степени не чисты.

Проблема, таким образом, сводится к простому вопросу. Мы знаем, что такое чистота для гладких компактных многообразий над алгебраически замкнутыми полями, но что такое чистота для спектров произвольных полей?

P.P.S. Кстати сказать, я сильно сомневаюсь, что когомологии Галуа произвольного поля (содержащего нужный корень из единицы) с постоянными коэффициентами Z/l -- формальны (что означало бы существование кошулевой градуировки на групповой коалгебре максимальной про-l-факторгруппы группы Галуа). "Квазиформальны", в указанном выше смысле, да, но вряд ли формальны. Надо бы подобрать какой-нибудь простой контрпример...

Ну да, конечно. Достаточно рассмотреть какую-нибудь некоммутативную максимальную про-l-факторгруппу Галуа, когомологии которой есть внешняя алгебра -- среди групп Галуа p-адических полей полно таких примеров. Вот среди полей, содержащих алгебраически замкнутое подполе, контрпример так просто не подберешь.

P.P.P.S. В контексте рациональных когомологий топологических пространств, про основное утверждение этого постинга есть статья Юзвинского-Пападимы, JPAA 144 (1999) (см. также домашнюю страницу С.Ю.). Жаль только, что ее авторы пользуются формальностью (которая здесь не по делу) вместо нужной квазиформальности.
Tags: math4
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments