Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Effacements injectifs de Grothendieck

Следующее определение можно найти в разделе 1.10 знаменитой статьи Гротендика "Sur quelques points d'algebre homologique". Мономорфизм X → E в абелевой категории A называется стирающе инъективным, если для любого мономорфизма X → B в A найдется морфизм B → E, делающий треугольную диаграмму X → B → E коммутативной.

Мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда индуцированный морфизм ExtA1(−,X) → ExtA1(−,E) зануляется. Если объект X можно вложить в инъективный объект J в категории A, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он факторизуется через мономорфизм X → J. Если в категории A существуют инъективные оболочки, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда объект E содержит инъективную оболочку X в качестве промежуточного подобъекта между X и E.

В конце раздела 1.10 имеются три замечания. Первое из них утверждает, что если абелева категория A удовлетворяет Ab4 и Ab3* и имеет кообразующую, то из всякого объекта в A бьет стирающе инъективный мономорфизм. Вот доказательство этого утверждения из статьи Гротендика, придуманное мною после часа размышлений вчера вечером.

Обозначим кообразующий объект категории A через V. Будем называть морфизм f: X → Y в категории A стирающим, если для всякого мономорфизма X → B существует морфизм B → Y, делающий треугольную диаграмму X → B → Y коммутативной. По определению, морфизм в категории A стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он стирающий и является мономорфизмом.

Нас интересуют стирающие морфизмы X → V из произвольного объекта X ∈ A в кообразующий объект V. Обозначим через S множество всех таких морфизмов; тогда имеется естественный морфизм X → VS в A (где VS -- произведение S копий объекта V в категории A -- существует, поскольку мы предполагаем, что A удовлетворяет Ab3*). Очевидно, что морфизм X → VS стирающий. Остается показать, что это мономорфизм. Пусть K -- ядро морфизма X → VS; предположим, что K ≠ 0.

Обозначим через T множество всех нестирающих морфизмов X → V. Для каждого t ∈ T, выберем мономорфизм X → Bt в категории A, такой что морфизм t: X → V не факторизуется через Bt. По предположению, категория A удовлетворяет Ab4 (и, в частности, Ab3), так что существует копроизведение T копий объекта X в A, копроизведение объектов Bt по всем t ∈ T, и копроизведение мономорфизмов X → Bt является мономорфизмом X(T) → ∐t∈T Bt.

Рассмотрим расслоенное копроизведение (pushout) последнего мономорфизма с естественным морфизмом X(T) → X. Получается мономорфизм X → C (где C -- факторобъект ∐t∈T Bt по ядру морфизма X(T) → X). В объекте X у нас имеется подобъект K; можно посмотреть на него как на подобъект в C. Поскольку V -- кообразующий объект категории A, найдется морфизм c: С → V, ограничение которого на K не равно нулю. Обозначим через x: X → V ограничение морфизма c на подобъект X ⊂ C.

Тогда морфизм x факторизуется через каждый из мономорфизмов X → Bt. Поэтому x ∉ T, откуда x ∈ S. Но все морфизмы X → V, принадлежащие S, зануляются на K, а x не зануляется на K. Полученное противоречие доказывает, что K = 0.

P.S. Ага, в терминологии Габбера морфизмы из класса, двойственного к тем, что я здесь называю "стирающими", называются "universally liftable". Так что и я мог бы вместо "стирающие" говорить "универсально продолжаемые", universally extendable. Или "повсеместно продолжаемые". Любой морфизм, факторизующийся через инъективный объект, является повсеместно продолжаемым, и т.д.

P.P.S. И обратно, если приглядеться к рассуждению, согласно которому любая кополная абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет Ab4, то можно видеть, что на самом деле оно доказывает, что любая кополная абелева категория, в которой из любого объекта бьет стирающе инъективный морфизм, удовлетворяет Ab4.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 6 comments