Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Левоперпендикулярные абелевы подкатегории в категориях модулей

1. Пусть K -- абелева категория Гротендика, и пусть A -- левоперпендикулярная подкатегория в K (в любом смысле слова). Тогда, во всяком случае, А замкнута относительно (прямых слагаемых и) бесконечных прямых сумм в K.

1а. Предположим дополнительно, что A -- абелева категория и функтор вложения A → K точен. Тогда (т.к. A полная подкатегория в K по определению) A замкнута относительно коядер в K. Сравнивая с пунктом 1., заключаем, что A замкнута относительно произвольных копределов в K.

2. Пусть K -- локально представимая абелева категория и A -- точно вложенная, абелева полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в K. В этой ситуации, категория A имеет множество образующих тогда и только тогда, когда она корефлективна в K и функтор-корефлектор сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого кардинала λ.

В самом деле, если A имеет множество образующих, то всякий сохраняющий копределы функтор из A в любую категорию имеет правый сопряженный по теореме Фрейда (отметим, что даже без предположения абелевости K, если в K есть произвольные копределы и A замкнута относительно копределов в K, то функтор A → K отражает эпиморфизмы -- достаточно рассмотреть cokernel pair в K эпиморфизма в A -- так что, если факторобъекты любого объекта K образуют множество, ср. [AR, Theorem 1.58], то то же верно и в A). Далее, все объекты категории A представимы, поскольку они представимы в K; и категория A локально представима, поскольку она имеет множество представимых сильных образующих [AR, Theorem 1.20]. Наконец, всякий правый сопряженный функтор между локально представимыми категориями сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ [AR, Theorem 1.66].

Обратно, предположим, что K локально λ-представима, A корефлективна в K и корефлектор Γ: K → A сохраняет λ-фильтрованные копределы. Рассмотрим множество G всех объектов в A вида Γ(L), где L -- факторобъект λ-представимого объекта в K (или, что то же самое, L -- λ-порожденный объект в K [AR, Proposition 1.69]). Покажем, что всякий объект X из A является объединением (и даже, более того, копределом) своих подобъектов, принадлежащих G. Действительно, X является λ-фильтрованным копределом λ-представимых объектов Xi в K. Обозначая образ Xi в X через Yi, мы видим, что X является λ-фильтрованным копределом своих подобъектов Yi в K (ср. [AR, Theorem 1.70]). Применяя функтор Γ (который, заметим, как всякий правый сопряженный функтор, переводит мономорфизмы в мономорфизмы), мы обнаруживаем, что X является копределом своих подобъектов Γ(Yi).

3. В предположении принципа Вопенки, эквивалентные условия из пункта 2 всегда выполнены. Более того, всякая полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в локально представимой категории, имеет множество образующих (и даже локально представима) и корефлективна (с функтором-корефлектором, сохраняющим λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ) [AR, Theorems 6.14 and 6.28, and Corollary 6.29]. Вообще, всякая полная подкатегория локально представимой категории имеет множество образующих (и даже small dense subcategory) в предположении принципа Вопенки [AR, Theorem 6.6].

4. Таким образом, в предположении принципа Вопенки, всякая точно вложенная левоперпендикулярная абелева подкатегория в категории Гротендика является категорией Гротендика. Было бы интересно знать, можно ли обойтись без принципа Вопенки в доказательстве этого факта для левоперпендикулярных подкатегорий к _множествам_ объектов/морфизмов (ср. [AR, Corollary 6.29], где упоминается co-orthogonality class, но про small co-orthogonality classes ничего не говорится).

5. Какие абелевы категории Гротендика являются (точно вложенными) левоперпендикулярными подкатегориями в категориях модулей над ассоциативными кольцами? Вот центральный вопрос.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments