Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Вопросов и ответов

- В чем разница между копроизводными категориями и контрамодулями, с научно-социальной точки зрения?
- На самом деле, это, конечно, два разных элемента одной большой картины. Но, если вопрос ставится в такой плоскости, то разница в том, что копроизводная категория -- сложная вещь, а контрамодуль -- простая.
- Почему?
- Потому, что копроизводная категория -- это такая триангулированная категория, а категории контрамодулей обычно абелевы. Абелевы категории проще триангулированных.
- В наше время многие считают наоборот...
- Да, конечно. Нынешняя мода на соломенные шляпки подчеркивает триангулированные (или бесконечность-...) категории. Характернейшим проявлением этой ситуации стало бытование отвратительного термина "инд-когерентные пучки".
- Чем отвратителен этот термин?
- Тем, что он ставит во главу угла и возводит в принцип отказ признавать различие между абелевыми и триангулированными категориями, их раздельное существование. Я бы пошел дальше и сказал, что это типичный феномен современного мышления вообще: демонстративное отрицание очевидного.
- А на самом деле?
- А на самом деле я очень рад, что мои работы последних лет идут вразрез этой ортодоксии, нацелены на подрыв и разрушение ее. Появление работ про MGM-двойственность сделало это наглядным.
- Да?
- Ну смотри: есть комодули, и есть контрамодули. Это разные вещи.
- Есть еще просто модули...
- Да, конечно. Модули, комодули и контрамодули. Но дальше есть еще производная категория, копроизводная категория и контрапроизводная. И эти вещи можно комбинировать практически свободно (только ко- и контра- в одной категории не сочетается). То есть, есть контрапроизводная категория модулей. Есть производная категория контрамодулей. Есть контрапроизводная категория контрамодулей. "Ко-" версии всего этого, конечно, тоже есть. Смешанные варианты, приставку "полу" можно еще задействовать. И дальше есть разные эквивалентности между всякими такими категориями, разные варианты таких эквивалентностей. И это совершенно разные результаты, разные конструкции. Они зависят от совершенно разных дополнительных данных.
- И что?
- Ты не можешь смотреть на эту картину взглядом, в котором нет абелевых категорий, а есть только триангулированные. Ну, то есть, если очень хочешь, можешь, конечно -- ты увидишь просто разные конструкции триангулированных категорий, некую россыпь таких конструкций. Но собственно результаты, теоремы, то есть конструкции эквивалентностей -- ты не увидишь. Основное содержание этой науки при таком взгляде выпадет, пропадет.
- А в чем состоит это основное содержание?
- Ну, если ты хочешь говорить на языке, в котором все вращается вокруг триангулированных категорий, а абелевы категории второстепенны -- можно сказать, что к этой россыпи триангулированных категорий прилагается россыпь t-структур на них. Часто почему-то по две t-структуры на одной триангулированной категории. Причем все эти t-структуры -- производного типа, хотя могут быть вырожденными.
- Что значит "производного типа"?
- Ext-ы в абелевой сердцевине и в объемлющей триангулированной категории совпадают. Стандартные конструкции t-структур, распространенные в литературе -- склейка, компактное порождение и т.д. -- обычно не производят t-структуры, обладающие этим свойством или для которых легко проверить этого свойство, насколько я себе представляю.
- Так. А почему все-таки копроизводные категории -- это сложно, а контрамодули -- просто?
- Да потому, что производные и триангулированные (или бесконечность...) категории -- это вообще сложно, а абелевы категории -- намного проще. Если современная ортодоксия это отрицает, так это проблемы современной ортодоксии. Оборачивается неспособностью видеть простые и важные вещи.
- Контрамодули?
- Да. Все-таки категория контрамодулей над целыми p-адическими числами -- это очень простой и важный объект гомологической алгебры. Простота и важность которого должна быть очевидна человеку, сохранившему способность смотреть на математические понятия, не надевая мутных очков современных идеологических преконцепций.
- Каких преконцепций?
- "Это категория Гротендика? -- Нет. -- Это противоположная категория к категории Гротендика? -- Нет. -- Это про-объекты? -- Нет. -- Это инд-объекты? -- Нет. -- Тогда что же это такое? Может быть так: до какого-то уровня про-объекты, а потом выше инд-объекты. Это оно? -- Мнн... нет. -- Тогда что это? Бывают инд-объекты и про-объекты..." И т.д.
- А что это?
- Это контрамодули. Простое, базовое, элементарное понятие, в одном ряду с модулями, в одном ряду с абелевыми группами. Понятие, собственно говоря, логически предшествующее всякой теории категорий вообще.
- У копроизводных категорий тоже должны быть какие-то простейшие примеры...
- Ну, конечно. Конечно, есть копроизводная категория модулей над внешней алгеброй с одной образующей, кольцом дуальных чисел. И есть контрапроизводная категория модулей над ней же, это все понятно.
- Это сложно?
- Помнишь, как Гельфанд говорил? "У меня семинар для первокурсников, хороших второкурсников, лучших аспирантов и выдающихся профессоров." Плохому профессору гомологической алгебры можно объяснить, что копроизводная категория модулей над внешней алгеброй -- это "инд-конечномерные модули". И ему покажется, что он что-то понял, хотя на самом деле он не понял ничего.
- Почему?
- Потому, что эти слова никакого смысла не имеют, думать о разных вопросах про эти вещи, на самом деле, не помогают, и это выяснится на следующем ходу. Или через ход, или через два. Нетривиальность этой науки на кривой козе не объедешь. Но ты не можешь объяснить даже самому лучшему второкурснику, что такое копроизводная категория, если он еще не освоил материал годичного курса гомологической алгебры, как минимум, или что-то в этом роде. Вообще никак не можешь этого объяснить, никакими словами. Вполне уверенное владение определением обычной производной категории необходимо для того, чтобы разговор о ее экзотических вариантах имел какой-нибудь смысл.
- А определение контрамодуля ты можешь объяснить второкурснику?
- Контрамодуля над целыми p-адическими числами -- да. Конечно. Для этого ничего не нужно, кроме владения понятиями модуля над кольцом, как учат в базовом курсе алгебры, и суммы ряда, как учат в анализе. Или даже не модуля над кольцом, владения понятием абелевой группы, на худой конец, достаточно.
- И это содержательный пример категории контрамодулей?
- Абсолютно содержательный. Кучу неожиданных свойств, примеров, контрпримеров можно наблюдать для этой категории. При этом профессору гомологической алгебры объяснить определение контрамодуля над p-адическими числами по нынешним временам практически невозможно, даже очень хорошему.
- Почему невозможно?
- Потому, что инд-объекты и про-объекты, и "противоположная категория". Он блуждает в этих трех соснах, и невозможно его оттуда вывести.
- Что же отсюда следует?
- Что если не совсем в этом поколении, то чуть-чуть в следующем некоторые хорошие второкурсники выучат контрамодули.
- И что дальше?
- А дальше они подрастут и станут аспирантами, а там, и профессорами. И тогда у нас, может быть, начнется немножко другая жизнь.
- "У нас"?
- В гомологической алгебре. Которая, все же, техническое сердце современной алгебры, да во многом и математики в целом. И, по-моему, совсем нехорошо, когда она пребывает в таком состоянии, как описано выше.
- То есть, ты думаешь, что когда/если твои идеи впитаются в мейнстрим гомологической алгебры, ее состояние в целом улучшится?
- Думаю, да.
- Почему? Казалось бы, если люди глупы (ограниченны, ленивы, нелюбопытны), то они такими и останутся, сколько бы определений они ни выучили. То, что ты называешь нынешним состоянием гомологической алгебры -- разве оно не свидетельствует лишь об этом, и только об этом?
- Потому, что я думаю, что люди способны учиться на опыте. И на опыте с нынешним состоянием, его развитием и его преодолением они чему-то научатся.
- Тому, что так нельзя?
- Да.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments