Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Можете ли вы с помощью своей новой техники

доказать какую-нибудь теорему, которую можно сформулировать, но нельзя доказать без нее?

1. Пусть S -- конечно-представимая коммутативная алгебра над коммутативным кольцом R. Тогда если S -- плоский R-модуль, то проективная размерность R-модуля S не превышает единицы.

2. Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо размерности Крулля 1. Обозначим через S дополнение к объединению всех минимальных простых идеалов в R. Тогда всякий плоский R-модуль F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный S−1R-модуль.

3. Пусть R -- счетное нетерово коммутативное кольцо. Тогда класс всех R-модулей C, таких что ExtR1(F,C) = 0 для любого плоского R-модуля F, можно описать следующим образом. Это класс всех R-модулей, которые можно получить из векторных пространств над полями вычетов кольца R с помощью операций перехода к счетно-итерированному расширению (в смысле проективного предела последовательности) и фактормодулю по произвольному подмодулю.

Может быть, кто-нибудь умеет доказывать что-нибудь из этого без моих контрамодульных техник?

***

Update -- вот сравнительно совсем элементарное утверждение в том же ряду, можно попробовать начать с него:

4. Пусть R -- коммутативное кольцо и s ∈ R -- элемент. Пусть F -- плоский R-модуль, такой что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен и R/sR-модуль F/sF проективен. Тогда F является прямым слагаемым некоторого R-модуля G, для которого существует короткая точная последовательность R-модулей 0 → P → G → Q → 0, где P -- свободный R-модуль, а Q -- свободный R[s−1]-модуль.

UUpdate -- все-таки, утверждение 1., как оно сформулировано выше, нельзя признать удачным способом рекламировать мою гипотезу (теперь теорему), что если конечно представимая R-алгебра S является плоским R-модулем, то это очень плоский R-модуль. Оно легко доказывается другими средствами. Попросту, если R-алгебра S конечно представима, то R-модуль S счетно представим; а всякий счетно представимый плоский модуль имеет проективную размерность не больше единицы.
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 13 comments