Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Вариации на тему

Пусть R -- коммутативное кольцо, C -- R-модуль и F -- плоский R-модуль.

1. Пусть S -- мультипликативное подмножество в R, такое что над кольцом S−1R все плоские модули проективны и для любого элемента s ∈ S все плоские модули над кольцом R/sR проективны. Предположим, что ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

2. Пусть S -- мультипликативное подмножество в R, такое что для любого элемента s ∈ S все плоские модули над кольцом R/sR проективны. Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

3. Пусть s ∈ R -- элемент кольца. Предположим, что R[s−1]-модуль F[s−1] проективен, R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(R[s−1],C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

4. Пусть S -- счетное мультипликативное подмножество в R. Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен, для любого элемента s ∈ S R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

5. Пусть S -- мультипликативное подмножество, состоящее из (некоторых) регулярных элементов в R, такое что pdRS−1R ≤ 1 (эта пара условий здесь, конечно, для того, чтобы использовать теорему о разложимости фактормодуля S−1R/R в прямую сумму счетнопорожденных прямых слагаемых, а потом сослаться на пункт 4). Предположим, что S−1R-модуль S−1F проективен, для любого элемента s ∈ S R/sR-модуль F/sF проективен, и ExtR1(S−1R,C)=0. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

Все эти утверждения выводятся из леммы:

Лемма 1. Пусть s ∈ R -- элемент. Предположим, что F/sF -- проективный R/sR-модуль, а C -- s-контрамодульный R-модуль. Тогда ExtR1(F,C) = 0.

Дальше можно играть в такую игру: взять какое-нибудь из этих утверждений, заменить все слова "проективный" на "очень плоский", и добавить условие "R-модуль C контраприспособлен". Некоторые из получающихся таким образом утверждений могут быть тоже верны или близки к верным, и доказуемы с помощью следующей

Лемма 2. Пусть кольцо R нетерово, и s ∈ R -- элемент. Предположим, что F/sF -- очень плоский R/sR-модуль, а C -- s-контрамодульный контраприспособленный R-модуль. Тогда ExtR1(F,C) = 0.
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments