Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Лямбда и дельта, идеал и адическое пополнение, контрамодули и контрамодули

Следующие результаты можно при случае включить в мой последний архивный препринт, 1705.04960.

Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал, R^ = limn R/In -- I-адическое пополнение кольца R, рассматриваемое как топологическое кольцо в топологии проективного предела (= I-адической топологии R-модуля R^). Пусть Λ = ΛI обозначает функтор I-адического пополнения M &rar; limn M/InM на категории R-модулей, Δ = ΔI -- функтор, сопряженный слева к вложению полной подкатегории I-контрамодульных R-модулей в R-mod.

Тогда:

1. Нулевой левый производный функтор L0Λ не точного ни слева, ни справа функтора Λ -- он же точный справа функтор R-mod → R-mod, совпадающий с функтором Λ на полной подкатегории проективных модулей в R-mod -- является сопряженным слева функтором к вполне строгому забывающему функтору R^-contra → R-mod.

2. Полная подкатегория I-контрамодульных R-модулей R-modI-ctra ⊂ R-mod есть в точности минимальная полная подкатегория в R-mod, содержащая образ вполне строгого забывающего функтора R^-contra → R-mod и замкнутая относительно расширений. В самом деле, всякий I-контрамодульный R-модуль является расширением двух R^-контрамодулей, как следует из вычисления ядра сюръективного морфизма Δ(M) → Λ(M) в разделе 7 препринта 1605.03934.

2а. Таким образом, свободный R^-контрамодуль с одной образующей R^ является 1-хорошей проективной образующей локально представимой абелевой категории R^-contra тогда и только тогда, когда вполне строгий функтор R^-contra → R^-modR^I-ctra является эквивалентностью категорий. В частности, если взять за кольцо R с идеалом I контрпример из раздела 2 работы 1503.05523, то R^-контрамодуль R^ будет 0-хорошей, но не 1-хорошей проективной образующей категории R^-contra.
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments