Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Категории контрамодулей как полные подкатегории категорий модулей

0. Пусть R -- ассоциативное кольцо, R^ -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть R → R^ -- гомоморфизм ассоциативных колец.

1. Пусть R-mod -- абелева категория всех левых R-модулей, B ⊂ R-mod -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod (так что, в частности, B -- абелева категория с бесконечными произведениями, и ее вложение B → R-mod -- точный функтор, сохраняющий бесконечные произведения).

Пусть Δ: R-mod → B -- рефлектор (т.е., функтор, сопряженный слева к вложению). Предположим, что функтор Δ переводит свободные R-модули R[X] в подлежащие R-модули свободных R^-контрамодулей ("модули убывающих функций") R^[[X]], причем морфизм сопряжения R[X] → R^[[X]] совпадает с отображением, индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

Тогда забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий, и он отождествляет категорию левых R^-контрамодулей R^-contra с полной подкатегорией B ⊂ R-mod.

2. Обратно, если забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий и B ⊂ R-mod -- его образ, то B -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod, и рефлектор Δ: R-mod → B переводит R[X] в R^[[X]] с морфизмом сопряжения R[X] → R^[[X]], индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

3. Выводя за скобки полную подкатегорию B, можно сформулировать такой совсем очевидный критерий: функтор R^-contra → R-mod вполне строгий тогда и только тогда, когда для любого левого R-контрамодуля P и любого множества X естественное вложение P^X = HomR^(R^[[X]],P) → HomR(R^[[X]],P) является биекцией, или, что все равно, естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

4. Обратно, если функтор R^-contra → R-mod вполне строгий, то левый R-модуль P является левым R^-контрамодулем (принадлежит образу этого функтора) тогда и только тогда, когда для любого множества X естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/1549985.html , http://posic.livejournal.com/1347266.html
Tags: math10
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments