Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Категории контрамодулей как полные подкатегории категорий модулей

0. Пусть R -- ассоциативное кольцо, R^ -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть R → R^ -- гомоморфизм ассоциативных колец.

1. Пусть R-mod -- абелева категория всех левых R-модулей, B ⊂ R-mod -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod (так что, в частности, B -- абелева категория с бесконечными произведениями, и ее вложение B → R-mod -- точный функтор, сохраняющий бесконечные произведения).

Пусть Δ: R-mod → B -- рефлектор (т.е., функтор, сопряженный слева к вложению). Предположим, что функтор Δ переводит свободные R-модули R[X] в подлежащие R-модули свободных R^-контрамодулей ("модули убывающих функций") R^[[X]], причем морфизм сопряжения R[X] → R^[[X]] совпадает с отображением, индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

Тогда забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий, и он отождествляет категорию левых R^-контрамодулей R^-contra с полной подкатегорией B ⊂ R-mod.

2. Обратно, если забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий и B ⊂ R-mod -- его образ, то B -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod, и рефлектор Δ: R-mod → B переводит R[X] в R^[[X]] с морфизмом сопряжения R[X] → R^[[X]], индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

3. Выводя за скобки полную подкатегорию B, можно сформулировать такой совсем очевидный критерий: функтор R^-contra → R-mod вполне строгий тогда и только тогда, когда для любого левого R-контрамодуля P и любого множества X естественное вложение P^X = HomR^(R^[[X]],P) → HomR(R^[[X]],P) является биекцией, или, что все равно, естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

4. Обратно, если функтор R^-contra → R-mod вполне строгий, то левый R-модуль P является левым R^-контрамодулем (принадлежит образу этого функтора) тогда и только тогда, когда для любого множества X естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/1549985.html , http://posic.livejournal.com/1347266.html
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments