Nassim Taleb's Commencement Address

"For I have a single definition of success: you look in the mirror every evening, and wonder if you disappoint the person you were at 18, right before the age when people start getting corrupted by life. Let him or her be the only judge; not your reputation, not your wealth, not your standing in the community, not the decorations on your lapel. If you do not feel ashamed, you are successful. All other definitions of success are modern constructions; fragile modern constructions.

The Ancient Greeks’ main definition of success was to have had a heroic death. But as we live in a less martial world, even in Lebanon, we can adapt our definition of success as having taken a heroic route for the benefits of the collective, as narrowly or broadly defined collective as you wish. So long as all you do is not all for you: secret societies used to have a rule for
uomo d’onore: you do something for yourself and something for other members. And virtue is inseparable from courage. Like the courage to do something unpopular. Take risks for the benefit of others; it doesn’t have to be humanity, it can be helping say Beirut Madinati or the local municipality. The more micro, the less abstract, the better."

http://fooledbyrandomness.com/AUBCommencement.pdf

Один-два-три-четыре

Есть 1. математика как область знания, с ее исторически сложившимися онтологией и эпистемологией (или, если иначе посмотреть, искусство для посвященных, с его эстетикой). Есть 2. математики как люди, доказывающие теоремы. Есть 3. математики как люди, делящие между собой выделяемые на их науку бюджеты. И есть 4. институциональная конструкция современной математики, с журналами, грантами, факультетами, теньюрированными позициями и престижными премиями.

Я бы хотел, чтобы первое и второе сохранилось, а третье и четвертое было уничтожено. А вы бы чего хотели?

Успехи современного естествознания (2008)

"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ"

"Преамбула данной статьи такова: у меня было 3 яблока, а у математика - 3. По абсолютной величине |-3|=3, т.е. у нас с математиком по 3 яблока. Я съел свои 3 яблока, а математик свои, по абсолютной величине. Если бы всех математиков кормили по абсолютной величине, они бы давно все вымерли."

http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=9406

via https://www.facebook.com/leonid.m.volkov/posts/1161762853846346 and https://twitter.com/leonidvolkov/status/768104433536364544

Полная строгость забывающих функторов из контрамодулей в модули

Теорема 1. Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Допустим, что R имеет также базу окрестностей нуля, состоящую из конечно-порожденных открытых левых идеалов (конечно-порожденных в сильном смысле: любое сходящееся к нулю семейство элементов в таком идеале должно быть линейной комбинацией сходящихся к нулю семейств элементов кольца с коэффициентами -- образующими идеала). Тогда забывающий функтор из категории левых R-контрамодулей в категорию левых R-модулей -- вполне строгий.

Доказательство: В самом деле, достаточно показать, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, где P -- левый R-контрамодуль, является морфизмом левых R-контрамодулей. Для этого достаточно проверить, что всякий гомоморфизм левых R-модулей R[[X]] → P, отображающий элементы из X в нулевые элементы в P, равен нулю. Пусть f: R[[X]] → P -- такой гомоморфизм R-модулей. Без потери общности мы можем предполагать, что R-контрамодуль P порожден элементами, лежащими в образе f (иначе можно заменить P на соответствующий подконтрамодуль).

Пусть I -- конечно-порожденный в сильном смысле левый идеал в кольце R. Тогда для любого левого R-контрамодуля Q образ I×Q отображения контрадействия I[[Q]] → Q совпадает с подмодулем IQ ⊂ Q. В частности, имеем I[[X]] = I×R[[X]] = I R[[X]] и I×P = IP. Теперь индуцированное отображение f/I: R[[X]]/IR[[X]] → P/IP равно нулю, так как левый R-модуль R[[X]]/I[[X]] = R/I[X] порожден элементами из X. Поскольку R-контрамодуль P порожден f(R[[X]]) и I×P = IP -- R-подконтрамодуль в P, отсюда следует, что P = IP.

Мы показали, что P = I×P для некоторого счетного множества левых идеалов I ⊂ R, образующих базу окрестностей нуля в R. Согласно контрамодульной лемме Накаямы (1512.08119, лемма 6.14), отсюда следует, что P = 0.

Теорема 2. Пусть R -- ассоциативное кольцо с двусторонним идеалом I. Рассмотрим присоединенное градуированное кольцо grIR и пополнение RI^ кольца R по I-адической фильтрации. Предположим, что идеал grII ⊂ grIR порожден конечным числом центральных элементов (градуировки 1). Тогда забывающий функтор RI^-contra → R-mod вполне строгий.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и использует тот факт, что идеалы InI^ в кольце RI^, рассматриваемые как левые идеалы, порождены в сильном смысле конечными множествами элементов, приходящих из кольца R, а на фактормодули (факторкольца) по этим идеалам кольцо R сюръективно отображается. Соответствующий обобщенный вариант теоремы 1 прямо влечет теорему 2.

Теорема 3. (а) Пусть k -- коммутативное кольцо и k{{x1,…,xm}} -- алгебра некоммутативных многочленов от конечного набора переменных с коэффициентами в k, снабженная гомоморфизмом аугментации k{{x1,…,xm}} → k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k{{x1,…xm}} по двустороннему идеалу, содержащемуся в идеале аугментации, I -- ядро гомоморфизма аугментации R → k, и RI^ -- пополнение R в I-адической топологии. Тогда забывающий функтор RI^-contra &rarr R-mod вполне строгий.

(б) Пусть k -- коммутативное кольцо и k<< x1,…,xm >> -- топологическая алгебра формальных степенных рядов от конечного набора переменных с коэффициентами в k. Пусть R -- факторалгебра алгебры k<< x1,…,xm >> по замкнутому двустороннему идеалу, снабженная индуцированной топологией. Тогда забывающий функтор R-contra → R-mod вполне строгий.

(в) Пусть C -- конильпотентная коалгебра над полем k, такая что пространство первых когомологий H1(C) = H1(C,k) конечномерно. Тогда забывающий функтор C-contra → C*-mod вполне строгий.

Многочлены пятой степени с циклической группой Галуа (из-под замка)

Вопрос юзера gaz_v_pol:

Ты случайно не знаешь, вот если взять многочлены степени 5 от одной переменной с целыми коэффициентами. У некоторых из них группа Галуа циклическая, C(5). Спрашивается, можно ли это сформулировать в виде условия на коэффициенты многочлена? Или в виде параметризации этих коэффициентов?

Мои ответы в комментах к этому постингу.

Тезис о Диссернете

Практика липовых "диссертаций" не заслуживает ни возмущения, ни осуждения. В некотором смысле, ей следовало бы аплодировать, так же, как и действиям разоблачающих ее. Совокупным результатом деятельности клиентов Диссернета плюс самого Диссернета является дискредитация 1. путинского режима, 2. постмодернистского мировоззрения и 3. государства вообще. Мысль о государственной сертификации как убедительном, или даже самом убедительном из всех возможных, подтверждении валидности чего бы то ни было сделана смехотворной трудами двух сторон диссернетовской баталии. Я рад, что история с моей диссертацией внесла дополнительную дельту вклада в этот благой совокупный результат.

Из комментов к https://www.facebook.com/vadim.novikov.39/posts/10209995361065192

Четверть века назад

Два реальных результата были достигнуты в августе 1991, как это видится из августа 2016.

Первый результат состоит в том, что в августе 2008 и апреле 2014 русская армия не смогла дойти до Тбилиси и Киева. Не говоря уже о Таллине и Ташкенте, Варшаве и Праге. Даст Бог, и не дойдет уж никогда.

Второй результат тот, что все, кто хотели уехать, смогли уехать, и сейчас могут. Можно и вернуться.

Никаких других результатов не было достигнуто. Что так КГБ у власти, что так КГБ у власти. Демонтаж сталинско-брежневского социализма в той или иной мере предполагался и программными документами ГКЧП. А капитализма сколько-нибудь настоящего все равно не получилось.

Но эти два реальных результата -- они, теоретически говоря, и есть самые важные из возможных результатов в ситуации, которая обозначалась аббревиатурой "СССР".