Below are the 20 most recent journal entries recorded in Лёня Посицельский's LiveJournal:

[ << Previous 20 ]

Sunday, May 27th, 2012
5:05 pm	О резольвентах (R,I)-контрамодулей - 2 Будем называть (R,I)-контрамодуль плоским, если он плоский, как R-модуль, и (R,I)-контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения. Лемма 1: если P -- R-контраприспособленный плоский R-модуль, то фактормодуль P/P(I) является плоским (R,I)-контрамодулем. Доказательство: как показано в Update к постингу http://posic.livejournal.com/792302.html , для любого s-контраприспособленного плоского R-модуля P фактормодуль P/P(s) является плоским R-модулем; так что остается применить индукцию по числу образующих идеала I. Лемма 2: если K -- R-модуль кокручения, для которого HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения (ср. постинг http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply , где то же самое доказывается в предположении, что s не делит 0 в R). Доказательство: в этих предположениях даже K(s) является R-модулем кокручения (что есть более сильное утверждение). В самом деле, если HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то отображение HomR(R[s−1],K) → K инъективно и K(s) = HomR(R[s−1],K). Осталось вспомнить, что HomR из плоского R-модуля в R-модуль кокручения является R-модулем кокручения. Лемма 3: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является s-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(s) -- R-модуль кокручения, F/F(s) -- плоский R-модуль, и все три модуля являются s-контрамодулями. Доказательство: покажем прежде всего, что отображение K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html и HomR(R[s−1]/R, P) ⊂ HomR(R[s−1],P) = 0 по условию, откуда HomR(R[s−1]/R, K) = 0. Поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), так что остается снова воспользоваться определнием s-контрамодуля (применительно к P). Точность последовательности 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 следует из доказанного. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен, R-модуль F = K/P s-контраприспособлен. Поэтому F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Будучи расширением двух s-контрамодулей, модуль K/K(s) также является s-контрамодулем. Следствие 1: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является I-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(I) → F/F(I) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) -- (R,I)-контрамодуль кокручения, а F/F(I) -- плоский (R,I)-контрамодуль. Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 3. Замечание: можно ослабить условия и заключения леммы 3 и следствия 1, заменив условие, что K является R-модулем кокручения, на условие R-контраприспособленности K, и соответственно, заключение, что K/K(s) или K/K(I) является R-модулем кокручения, на вывод, что соответствующий модуль R-контраприспособлен. Хотелось бы научиться аналогично/одновременно усиливать условие и заключение относительно F и F/F(s) или F/F(I), заменяя плоскость на очень плоскость; проблема в том, что существующее доказательство леммы 1 неприменимо в очень плоской ситуации. Лемма 4: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является s-контрамодулем, то 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K/K(s) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(s) плоский, и все три R-модуля являются s-контрамодулями. Доказательство: покажем сначала, что гомоморфизм K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, K) ⊂ HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html , поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), и остается воспользоваться условием ExtR*(R[s−1],P) = 0. Точность последовательности 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 из этого вытекает. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и расширение s-контраприспособленных R-модулей s-контраприспособлено, R-модуль F, являющийся расширением P с помощью K, s-контраприспособлен. Поэтому фактормодуль F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Поскольку R-модуль K s-контраприспособлен, R-модуль K/K(s) является s-контрамодулем. Следствие 2: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является I-контрамодулем, то 0 → K/K(I) → F/F(I) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(I) плоский, и все три R-модуля являются I-контрамодулями. Если к тому же P является (R,I)-контрамодулем, то все три модуля в новой точной последовательности являются (R,I)-контрамодулями. Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 4. (Comment on this)
11:55 am	В развитие вопроса о резольвентах (R,I)-контрамодулей Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, и пусть s ∈ R -- элемент. Напомним, что R-модуль P называется s-контраприспособленным, если ExtR1(R[s−1],P) = 0, и s-контрамодулем, если ExtRi(R[s−1],P) = 0 для всех i (т.е., i = 0 и i = 1). R-модуль P называется модулем кокручения, если ExtRi(F,P) = 0 для всех плоских R-модулей F и i > 0. На R-модуле P, являющемся s-контрамодулем, корректно определены и имеют разумные свойства операции бесконечного суммирования, сопоставляющие последовательности элементов pi ∈ P элемент ∑i=0∞ sipi ∈ P. Если I ⊂ R -- идеал в R, то R-модуль P называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I. Достаточно того, чтобы это условие выполнялось для s, пробегающих какое-нибудь множество образующих идеала I [см. 1202.2697, Appendix B]. Отметим, что любой фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен. Для любого R-модуля L, будем обозначать через L(s) образ отображения HomR(R[s−1],L) → L, индуцированного отображением локализации R → R[s−1]. Эквивалентным образом, R-подмодуль L(s) ⊂ L можно определить, как сумму всех R-подмодулей (или даже просто s-инвариантных абелевых подгрупп) L, на которых s действует сюръективно. Поэтому если L' = L/L(s) обозначает соответствующий фактормодуль, то L'(s) = 0. Таким образом, если R-модуль L s-контраприспособлен, то фактормодуль L/L(s) является s-контрамодулем (здесь существенно, что если L(s) = 0 для некоторого R-модуля L, то HomR(R[s−1],L) = 0). Пусть теперь s, t ∈ R и R-модуль L является t-контрамодулем. Тогда R-модуль HomR(R[s−1],L) -- также t-контрамодуль (потому что на нем можно ввести операции бесконечного суммирования по степеням t) и образ L(s) гомоморфизма t-контрамодулей HomR(R[s−1],L) → L является t-контрамодулем [loc. cit.]. Следовательно, фактормодуль L/L(s) остается t-контрамодулем. Если R-модуль L был к тому же s-контраприспособленным, L/L(s) будет как s-, так и t-контрамодулем. R-модуль P называется R-контраприспособленным, если он s-контраприспособлен для всех s ∈ R, и (R,I)-контрамодулем, если он является R-контраприспособленным I-контрамодулем. Применяя конструкцию выше последовательно для всех образующих идеала I ⊂ R, мы за конечное число шагов (равное числу таких образующих) получаем максимальный фактормодуль R-контраприспособленного R-модуля P, являющийся I-контрамодулем (и тогда уже и (R,I)-контрамодулем). Обозначим этот фактормодуль через P/P(I). (Comment on this)
12:51 am	Итак, ура Теперь я знаю, что такое контрагерентный копучок контрамодулей локально кокручения над нетеровой формальной схемой. Это примерно важнейшее продвижение с начала апреля, когда появилась вся эта контрагерентно-копучковая деятельность. Ср. http://posic.livejournal.com/785128.html (Comment on this)
12:18 am	Вопросы про вялые пучки и ковялые копучки 1. Верно ли, что всякий квазикогерентный пучок кокручения над нетеровой отделимой схемой вял? Нельзя ли эквивалентно определить квазикогерентные пучки кокручения как вялые пучки, сечения которых над аффинными открытыми подсхемами являются модулями кокручения над кольцами функций? Заметим, что внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок из когерентного пучка является вялым пучком. Более того, согласно теореме A.3 из 1102.0261, квазикогерентный внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок OX-модулей из нетеровой квазикогерентной OX-алгебры является вялым пучком. 2. Верно ли, что проективные объекты категории контрагерентных копучков (произвольных или локально кокручения) над нетеровой схемой являются ковялыми (т.е. все их отображения коограничения косечений инъективны)? Нельзя ли эквивалентно определить проективные контрагерентные копучки как ковялые копучки с (очень) плоскими модулями косечений над аффинными открытыми подсхемами? Аргументом в пользу этого является результат http://posic.livejournal.com/791884.html , согласно которому у плоского контрагерентного копучка отображения коограничения инъективны для аффинной нетеровой схемы и ее главных аффинных открытых подсхем. (Comment on this)
Saturday, May 26th, 2012
11:29 pm	Полработы Когда-то я начинал писать серию автобиографических постингов под общим названием "Прописывание", с моралью, что, по моему опыту, если половина работы сделана, а вторая упирается в отдельные технические трудности, следует заняться прописыванием того, что получается, и то, что не получается, получится по ходу дела. Не исключено, что сейчас у меня случилась новая иллюстрация к этому утверждению. Кажется, я теперь умею доказывать существование плоских резольвент и резольвент кокручения в категории контрамодулей над адическим пополнением нетерова кольца. (Comment on this)
10:54 pm	В тензорном произведении плоского модуля на конечно-порожденный нет делимых элементов кручения Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, M -- конечно-порожденный A-модуль, f -- элемент A. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей HomA(A[f−1], P⊗AM) → P⊗AM инъективен. Другими словами, HomA(A[f−1]/A, P⊗AM) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности xi ∈ P⊗AM, i≥0, такой что fxi = xi−1 и x0 = 0. Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fn+1 тоже. Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗A(M/N) = (P⊗AM)/(P⊗AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента xn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., xn+1 ∈ P⊗AN ⊂ P⊗AM. Поскольку N аннулируется элементом fn, отсюда следует, что x1 = 0 в P⊗AM. P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗AM, fx = 0, и x = fny (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0. (Comment on this)
10:16 pm	Подмодуль делимых элементов контраприспособленного плоского модуля Важная (для моих целей) задача: пусть F -- плоский модуль над кольцом R и s ∈ R -- элемент. Обозначим через F(s) подмодуль всех бесконечно s-делимых, в сильном смысле, элементов F, т.е. образ отображения HomR(R[s−1], F) → F. Согласно предыдущему постингу, в случае нетерова кольца R это отображение инъективно. Является ли фактормодуль F/F(s) плоским? Хотя бы в случае, когда F не только плоский, но и s-контраприспособленный (т.е. ExtR1(R[s−1], F) = 0)? Вероятнее всего, ответ на этот вопрос хорошо известен специалистам по коммутативной алгебре, но единственное, что мне пока что удается показать, это что если модуль F s-контраприспособленный и плоский, то модуль F(s) тоже s-контраприспособленный и плоский. В самом деле, модуль HomR над когерентным кольцом R из s-очень плоского модуля (такого, как R[s−1]) в s-контраприспособленный плоский модуль является s-контраприспособленным и плоским (поскольку тензорное произведение конечно представимого модуля на такой Hom изоморфно Hom'у в тензорное произведение -- ср. с леммой I.1.8б) в черновике статьи). Update: вот доказательство плоскости F/F(s) для s-контраприспособленного плоского модуля F над нетеровым кольцом R. Как объяснено в предыдущем абзаце, для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется естественный изоморфизм F(s)⊗RM = HomR(R[s−1], F⊗RM). Как объяснено в следующем постинге, отображение HomR(R[s−1], F⊗RM) → F⊗RM инъективно. Таким образом, мы показали, что естественное отображение F(s)⊗RM → F⊗RM инъективно для любого конечно-порожденного R-модуля M. Но это и значит, что R-модуль F/F(s) плоский (поскольку уж модуль F плоский). (Comment on this)
8:24 pm	В плоском модуле над нетеровым кольцом нет сильно делимых элементов кручения Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, f -- элемент А. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей HomA(A[f−1], P) → P (индуцированный гомоморфизмом А-модулей A → A[f−1]) инъективен. Другими словами, HomA(A[f−1]/A, P) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности элементов pi ∈ P, i≥0, таких что fpi = pi−1 и p0 = 0. Доказательство (ср. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", лемма 3.3 главы III): рассмотрим возрастающую последовательность идеалов -- аннуляторов степеней элемента f в A. Пусть J -- наибольший идеал в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле A/J; соответственно, и умножение на fn+1 тоже. Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом на A-модуле P/JP. В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента pn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е. элемент pn+1 в A-модуле P делится на идеал J. Поскольку J аннулируется элементом fn, отсюда следует, что p1 = 0 в P. Ср. с (неудавшимся) постингом http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply (Comment on this)
Friday, May 25th, 2012
11:57 pm	Вялые пучки и дистрибутивные наборы Пусть X -- топологическое пространство, покрытое конечным набором своих открытых подмножеств U1, ..., Un. Предположим для простоты, что подмножества эти находятся в общем положении, т.е. для любого поднабора Ui найдется точка из X, содержащаяся в подмножествах из этого поднабора и не содержащаяся в остальных. Пусть F -- пучок абелевых групп на X. Рассмотрим две полные подкатегории в категории открытых подмножеств X (и тождественных вложений): подкатегория C будет состоять из всех пересечений непустых поднаборов Ui, а подкатегория D -- из всех открытых подмножеств, которые можно получить из Ui объединениями и пересечениями. Заметим, что всякий контравариантный функтор C → Ab однозначно продолжается до контравариантного функтора D → Ab, удовлетворяющего аксиоме пучка для покрытий открытых множеств из D открытыми множествами из D. Будем говорить, что пучок F вял (в ограничении) на D, если для все отображения ограничения между группами сечений F над открытыми подмножествами X, входящими в D, сюръективны. Утверждается, что пучок F вял на D тогда и только тогда, когда - отображение F(X) → F(Ui1∩...∩Uik) сюръективно для всех i1 < ... < ik; - ядро этого отображения, как подгруппа в F(X), равно сумме ядер отображений F(X) → F(Uis) по всем s от 1 до k; - набор из n подгрупп -- ядер отображений F(X) → F(Ui) -- порождает дистрибутивную решетку подгрупп группы F(X). Полного доказательства у меня в данный момент нет, но очень похоже на правду. Такой элементарный пример утверждения в знакомом русле "простое условие (типа сюръективности), примененное к большому множеству объектов, замкнутому относительно операций, эквивалентно сложному условию (типа кошулевости), примененному к набору образующих этого большого множества объектов". Ср. Quadratic Algebras, Lemma 4.5 from Chapter 3. (Comment on this)
Sunday, May 20th, 2012
5:09 pm	Контрагерентные копучки - 2 Продолжение http://posic.livejournal.com/786051.html?mode=reply II.5. Контрагерентные копучки fHom между квазикогерентными пучками ( Read more... ) II.6. Контратензорное произведение пучков и копучков ( Read more... ) II.7. Локально контрагерентные копучки II.8. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков II.9. Гомологии локально контрагерентных копучков II.10. Прямые и обратные образы контрагерентных копучков II III. Ко-контра соответствие над регулярной схемой IV. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой V. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом VI. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций VII. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие A. Ко-контра соответствие над аффинной формальной схемой B. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом (Comment on this)
Thursday, May 17th, 2012
10:49 pm	Политическое, косвенное Единственное, что меня может побудить к принятию какого-либо участия в сегодняшних протестах -- это необходимость, если таковая возникнет, максимально недвусмысленно подтвердить свою позицию, согласно которой протестующие правы по существу своих требований, начальство же сугубо неправо. Поскольку у меня много других дел, настоящий постинг пишется как альтернатива непосредственному участию в мероприятиях, в расчете, что этого на некоторое время хватит. Гражданам, считающим протестующих дураками, настоящим указывается иметь в виду, что чем больше они будут заявлять об этом своем мнении, тем быстрее увидят меня среди протестующих. Гражданам, считающим участие в протестах моей обязанностью, настоящим предлагается ответить на вопрос, где они были с этим своим мнением 5, 10 и 12 лет назад. (1 Comment |Comment on this)
Wednesday, May 16th, 2012
5:51 pm	Интервью с В. Васильевым о математическом образовании http://www.ria.ru/edu_analysis/20120428/637265515.html?fb_action_ids=386151104770693&fb_action_types=news.reads&fb_source=other_multiline (Comment on this)
Saturday, May 12th, 2012
9:16 pm	Вопрос по элементарной теории групп Родившийся из путаницы, случившейся в ходе обсуждения одной вступительной задачи в магистратуру нашего факультета, имевшего место в поезде Севастополь-Москва. Пусть у некой группы множество классов сопряженности конечно. Следует ли из этого, что сама группа конечна? Мне почему-то смутно помнится, что я когда-то знал совсем несложное доказательство этого, но, может быть, я путаю с каким-то другим вопросом. Единственное, что удается вспомнить -- это что если в группе G есть подгруппа H конечного индекса, то в H содержится подгруппа N, имеющая конечный индекс и нормальная в G. Это я умею доказывать, конечно, но связи со сформулированным выше вопросом не вижу. Непонятен уже такой простейший частный случай. Допустим, все неединичные элементы некой группы сопряжены. Следует ли из этого, что группа конечна (и, соответственно, имеет порядок ≤ 2)? (5 Comments |Comment on this)
Monday, April 30th, 2012
10:58 pm	Вопрос про D-\Omega двойственность на MathOverflow http://mathoverflow.net/questions/95510/mathcald-quasi-isomorphisms-and-coherent-omega-modules P.S. Ответил. Вот и от знания (смутного воспоминания, вернее сказать), что функция ex/x неинтегрируема в квадратурах, есть иной раз польза. (Comment on this)
6:40 pm	Контрагерентные копучки - 1 I. Контраприспособленные модули и модули кокручения I.1. Контраприспособленные и очень плоские модули ( Read more... ) I.2. Точная категория контраприспособленных модулей ( Read more... ) I.3. Модули кокручения ( Read more... ) I.4. Точная категория модулей кокручения ( Read more... ) II. Контрагерентные копучки над схемой II.1. Копучки модулей над пучком колец ( Read more... ) II.2. Точная категория контрагерентных копучков ( Read more... ) II.3. Прямые и обратные образы контрагерентных копучков I ( Read more... ) II.4. Cohom из квазикогерентного пучка в контрагерентный копучок ( Read more... ) (Comment on this)
Sunday, April 29th, 2012
7:11 pm	Контрагерентность -- нелокальное условие? Пусть A -- коммутативное кольцо, f и g -- два его элемента, порождающие единичный идеал, M и N -- модули над A[f−1] и A[g−1], соответственно. Предположим, что модули M и N контраприспособлены (т.е. ExtA1(A[h−1],M) = 0 = ExtA1(A[h−1],N) для всех h∈A) или даже являются A-модулями кокручения. Пусть имеется изоморфизм A-модулей HomA(A[g−1],M) = HomA(A[f−1],N) (обозначим этот A-модуль через K). Существует ли тогда (по возможности, контраприспособленный) A-модуль P, такой что M = HomA(A[f−1],P) и N = HomA(A[g−1],P)? Если модуль P существует, его можно восстановить как коядро морфизма K → M⊕N. В общем случае, такое коядро является решением нашей задачи тогда и только тогда (кажется), когда морфизм K → M⊕N инъективен. Инъективен ли он в общем случае? Что-то я не вижу сейчас никаких причин для этого. В геометрической терминологии, это означает, что у нас имеются контрагерентные копучки, связанные с M и N, соответственно на Spec A[f−1] и Spec A[g−1], есть отождествление их ограничений на пересечение, и все это можно даже однозначным образом продолжить до копучка O-модулей на Spec A. Но ниоткуда не следует, что этот копучок на Spec A контрагерентен. P.S. Вот еще как про это можно думать. Пусть схема X представлена в виде объединения двух своих открытых подсхем U, V ⊂ X, и пусть jU: U→X и jV: V→X -- соответствующие отображения вложения. Нам понадобится еще обозначение для отображения вложения k: U∩V → X. Пусть M и N -- квазикогерентные пучки соответственно на U и V, ограничения которых на U∩V изоморфны квазикогерентному пучку L. Тогда склеенный пучок на X определяется как ядро сюръективного морфизма квазикогерентных пучков jU*M ⊕ jV*N → k*L. В случае же контрагерентных копучков, пока все выглядит так, что соответствующий (двойственный) морфизм не будет допустимым мономорфизмом в точной категории контрагерентных копучков на X. Так что результатом склейки двух контрагерентных копучков с покрытия двумя открытыми множествами является не копучок, а двучленный комплекс контрагерентных копучков. (Comment on this)
Friday, April 27th, 2012
11:43 pm	Семантика прилагательных в математической терминологии абелева категория = категория со свойством абелевости точная категория (в смысле Квиллена) = категория с дополнительной структурой точности аффинная схема = частный случай схемы формальная схема = обобщение схемы конечная группа = группа, подлежащее множество которой обладает свойством быть конечным алгебраическая группа = а) группа, подлежащее множество которой снабжено дополнительной структурой алгебраического многообразия; б) не группа, но объект в категории алгебраических многообразий, аналогичный группе квантовая группа = вообще совсем не группа, но некоммутативный аналог группового кольца/обертывающей алгебры/алгебры функций на группе (8 Comments |Comment on this)
11:26 pm	Текущий статус копучковой деятельности Сейчас у меня эта наука находится в состоянии, примерно соответствующем состоянию полубесконечной деятельности где-то между 2000 и 2002 годами. Ясно, что подход имеет смысл и в принципе работает, какие-то разумные утверждения доказываются; но на пути к доказательствам основных результатов в их желательной общности лежат технические препятствия, которые совершенно непонятно, как преодолевать. Надо бы написать в ближайшие месяцы текст с построением той части теории, которую сейчас кажется возможным построить (что будет примерно соответствовать письмам 2002 года, только хорошо бы на этот раз это были не письма, а препринт); а дальше, скорее всего, придется отложить это дело в долгий ящик вплоть до появления новых идей, позволяющих преодолеть препятствия. Конкретнее, ситуация выглядит так, что - для аффинных нетеровых формальных схем теория построена; - для нетеровых схем теория строится; - для нетеровых формальных схем теория пока что не строится. (Comment on this)
10:34 pm	Завел себе профиль на гугл скулар http://scholar.google.com/citations?user=CGsL53AAAAAJ По наводке одного жж-юзера. Внушительно так выглядит, даже смешно. (5 Comments |Comment on this)
12:46 am	C-контрамодули А-кокручения и A-контраприспособленные Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Будем называть левый A-модуль K контраприспособленным, если ExtAi(C⊗A…⊗AC, K) = 0 для любого числа тензорных сомножителей C и любого i > 0. Ясно, что класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно расширений, коядер вложений, бесконечных произведений и взятия A-модуля HomA(C,−). Более общим образом, удобно было бы завести какой-нибудь класс плоских левых A-модулей F, содержащий свободный A-модуль с одной образующей и замкнутый относительно ядер сюръекций и тензорного умножения на C над A слева (а также, при желании, трансфинитно-итерированных (в смысле прямого предела) расширений). Тогда класс контраприспособленных A-модулей с выписанными выше свойствами можно было бы просто определить как ExtA1-дополнительный класс к F. В любом случае, отметим, что всякий A-модуль кокручения контраприспособлен по определению. Левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых контраприспособлены, образуют точную категорию с точными функторами бесконечных произведений. В нее вкладывается точная категория левых C-контрамодулей A-кокручения. При каких условиях индуцированный функтор между контрапроизводными категориями является эквивалентностью? Из общих соображений известно, что в контрапроизводных категориях можно пользоваться конечными правыми и бесконечными левыми резольвентами. Например, если всякий плоский левый A-модуль имеет конечную проективную размерность, то всякий левый A-модуль имеет конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения. В этом случае эквивалентность двух контрапроизводных категорий следует из двойственного варианта теоремы 1.4(a) из статьи 1102.0261. Более общим образом, для этого аргумента нужно, чтобы всякий контраприспособленный A-модуль имел конечную правую резольвенту из A-модулей кокручения (если всякий левый A-модуль имеет конечную левую резольвенту модулями из F, так что контраприспособленные A-модули имеют конечную инъективную размерность, аргумент упрощается). С другой стороны, предположим, что точные категории контраприспособленных левых A-модулей и левых A-модулей кокручения -- горенштейновы (т.е. имеют совпадающие классы объектов конечной проективной и инъективной размерности, причем обе конечные размерности ограничены константой и объектов обоего типа достаточно много). Заметим прежде всего, что в этих предположениях класс объектов конечной проективной размерности в обеих категориях сохраняется функтором HomA(C,−) и бесконечными произведениями (поскольку класс инъективных A-модулей сохраняется). Поэтому имеет смысл рассматривать левые C-контрамодули, подлежащие A-модули которых принадлежат к этим двум классам, и контрапроизводные категории этих точных категорий. Следуя рассуждению из предложения и замечания 1.5 вышеупомянутого препринта, можно показать, что эти контрапроизводные категории эквивалентны контрапроизводным категориям, соответственно, A-контраприспособленных C-контрамодулей и C-контрамодулей A-кокручения. Теперь двойственная версия теоремы 1.4(a) позволяет отождествить обе контрапроизводные категории с контрапроизводной категорией A-инъективных C-контрамодулей, а следовательно, и между собой. (Comment on this)