Below are the 20 most recent journal entries recorded in Лёня Посицельский's LiveJournal:

[ << Previous 20 ]

Monday, June 4th, 2012
12:09 am	Как объяснить ребенку, что такое эллиптические кривые и производные категории Из-под замка: 0. Ищется в интернете картинка с кубической кривой в вещественной плоскости. Можно даже две -- с одной связной компонентой и с двумя. Вот: это эллиптические кривые. (Например, в статье http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve есть хорошие картинки.) 1. Бывает на числах операция сложения, бывает на ненулевых числах -- умножения. А есть еще целое семейство похожих операций, следующий уровень. С каждым числом можно связать двухместную операцию на неком множестве. Числа образуют прямую, а в этом более сложном случае, получаются кривые. (Если последует вопрос, можно показать картинку, как складывать точки на кубической кривой.) 2. Бывают две отдельные точки, из одной в другую не пройдешь, не выходя за их пределы. А бывает окружность, на ней между двумя точками можно пройти двумя способами -- по часовой стрелке и против. А еще бывает сфера. А еще бывает тор, на нем есть окружности разных типов. Люди это изучали, и придумали производные категории. (7 Comments |Comment on this)
Sunday, June 3rd, 2012
10:00 pm	Навстречу 12 июня 1. Воспроизвожу из Фейсбука: В чем я точно не буду участвовать, так это в "научно-образовательной колонне 12 июня". Мои претензии к властям носят общеполитический и национально-политический характер, и никакого отношения к моему роду занятий не имеют. Никаких научно-образовательных требований к нынешнему правительству у меня нет (а сам факт наличия сторонников оппозиции среди работников науки и образования на сегодняшний день не требует доказательств). 2. Далее, касательно общеполитических требований: Когда начальство со своими "выборами", "полицией" и "судами" откровенно ссыт в глаза десяткам миллионов граждан и избирателей, а тем, по большей части, что божья роса, а остальные не знают, на что решиться -- скажем так, неочевидно, что именно гомологический алгебраист с аттестатом 57-й школы и гарвардской степенью есть тот самый персонаж, которого в этом деле недостает. (5 Comments |Comment on this)
2:28 pm	Время и эпоха Я не стремлюсь соответствовать требованиям времени, или духу времени, или решать задачи, которые время передо мной ставит. Скорее, я пытаюсь в меру сил использовать возможности, которые предоставляет эпоха, для решения задач, интересных и важных с точки зрения, находящейся вне временной шкалы. Попросту, короче, если дурачье развело вокруг дурдом, это не повод, чтобы мне этому "соответствовать". Научная работа, во всяком случае, существует не для того, чтобы ориентироваться на цвет, в который покрашены стены окружающего дурдома в текущем сезоне. Возможности, конечно, приходится использовать те, которые есть, будь то стены дурдома или что-то еще. Другое дело, что произойдет, когда возможности для осмысленной деятельности в определенных направлениях окажутся исчерпаны в рамках окружающего, с позволения сказать, заведения. Ну, может быть, плохо будет; но жизнь человеческая вообще конечна. (7 Comments |Comment on this)
2:09 am	Учиться в вузе "Учиться в вузе" означает попросту "стоять в очереди за бумажкой, которую выдает и любит требовать государство". Особенно верно это в России, с тем еще добавлением, что под "государством" в данном случае понимается заведение, возглавляемое президентом Путиным и премьером Медведевым. Т.е., например, когда какой-нибудь родитель говорит "мой ребенок учится в вузе", понимать это нужно, как "мой ребенок стоит в очереди за бумажкой, которую выдают и любят требовать подчиненные Путина и Медведева". Разумеется, возможны отдельные исключительные случаи, когда применительно к какому-то студенту "учиться в вузе" означает изучать, например, математику, или осваивать ремесло инженера, или программиста, и т.д. В конце концов, особенно в России, любая форма может быть наполнена практически любым содержанием, изредка даже приближающимся к своему, так сказать, номинальному значению. Но эти случаи именно исключительны, редки и должны оговариваться отдельно. По умолчанию и в отсутствие подтверждений иного положения вещей, "учиться в вузе" означает изложенное выше. Применительно к студентам мужского пола, не имеющим иных оснований для отсрочки от призыва, следует, конечно, читать "мой сын проходит альтернативную гражданскую службу в форме стояния в очереди за бумажкой, которую" и т.д. (12 Comments |Comment on this)
Saturday, June 2nd, 2012
8:05 pm	Чем я занимаюсь N-я попытка объяснить то, что объяснить невозможно. Вот примерно так это выглядит (имеется в виду одна из двух моих деятельностей, другая про другое): DG-алгебры, A∞-алгебры | CDG-алгебры, искривленные A∞-алгебры алгебры, кольца | коалгебры над полями, кокольца над кольцами | полуалгебры модули | комодули, дискретные модули, модули кручения | контрамодули категории производные | копроизводные | контрапроизводные | полупроизводные квазикогерентные пучки (модулей кручения) | контрагерентные копучки (контрамодулей) Каждая строчка представляет собой некий ряд аналогий или двойственностей-аналогий. Двигаясь этом ряду слева направо, список начинается с классических понятий, известных всем алгебраистам, как известны (достаточно широкому кругу людей, получивших соответствующее образование) и методы работы с ними. Продолжается не вполне классическими, но тоже известными понятиями, методы работы с которыми я развивал -- и кончается тем, что я придумал, вместе с прилагающимися методами. (Грубо-приблизительно говоря.) Все это вместе должно работать, как единая машина, производя на свет -- не знаю уж, пока еще, что. Ну, левая половина таблицы много чего на свет производит; эстетическое чувство подсказывает, что должны быть важные вещи, для производства которых необходима и правая. В каких-то математических сюжетах правая половина уже сейчас существенно используется, конечно; приходится жить надеждой, что со временем обнаружится больше и более важных таких сюжетов. (Comment on this)
2:32 pm	Кослои контрагерентных копучков Не нашел на квартире, где основная часть библиотеки, книжку Бредона "Теория пучков". Смутно вспоминается, что отдал ее когда-то кому-то. (Если этот кто-то читает эти строки и ему она больше не нужна, верните!) Мне интересно, что там про копучки написано. Наверное, можно скачать в сети и распечатать нужную главу, но с книжкой валяться на диване приятнее. Придумал определение: копучок абелевых групп P на топологическом пространстве X имеет кослой в точке x, если все высшие производные функторы проективного предела групп косечений P по открытым подмножествам X, содержащим х, равны нулю. Кослоем называется в этом случае сам соответствующий проективный предел. Имеют ли контрагерентные копучки кослои в схемных точках? Вопрос упирается, видимо, в то, является ли локализация коммутативного кольца R по простому идеалу p очень плоским R-модулем. Этого я не знаю. Впрочем, может быть, можно обойтись тем, что кослои бывают у контрагерентных копучков локально кокручения. Скажем, если взять за R кольцо многочленов от двух переменных над алгебраически замкнутым полем большой мощности, какова будет проективная размерность над R локализации R по максимальному идеалу? Один или два? (Comment on this)
Wednesday, May 30th, 2012
11:18 pm	Про инвалидов Интересный разговор -- http://www.snob.ru/selected/entry/49495 (via http://snorapp.livejournal.com/1216874.html ) И. Я.: ... Наверное, отстранение — это свойство людей слабых. Как ты думаешь, Люсь? Л. У.: Ну, я думаю, что просто это свойство эгоцентриков, которые не желают, чтобы их мир был нарушен. Забавно, что вывод-то оказывается противоположным: это не инвалиды фальшивят, улыбаясь, а они отгораживаются от жизни, не желая ее принимать во всей ее реальности. Это они, а не инвалиды, выстраивают себе искусственную жизнь. Я думаю, что я выстраиваю себе искусственную жизнь. Я живу в искусственной среде академии и нежизнеспособен вне нее. Вне математики и ее преподавания от меня нет никакого толку. Это еще слишком слабое утверждение: точнее будет сказать, что от меня нет никакого толку вне научных исследований в высокоабстрактной чистой математике в стиле второй половины двадцатого века + аналогичного преподавания, ориентированного на подготовку чистых ученых. Я живу в искусственной среде технической цивилизации. Я не могу работать без компьютера; в последние десять лет, и без интернета не могу. В этом отношении я сделал шаг вперед по отношению к предыдущим поколениям математиков, которые не могли обойтись всего лишь без писчебумажных принадлежностей и библиотеки. Зато так же, как и они, я не могу ничего объяснить аудитории из более чем трех человек без доски и мела (или их функциональных аналогов). ... Я думаю, что выстраивать себе искусственную жизнь естественно для человека, а "жить естественной жизнью" (что бы это ни значило) -- неестественно. Что природа человека подразумевает жизнь в искусственной среде, специально для себя созданной. Я думаю, что отстранение -- это свойство людей, которые не желают, чтобы их мир был нарушен; а желание сохранить свой мир от вторжения -- это свойство людей, живущих своей жизнью, а не фантомами популярной идеологии и ее пропаганды. Я думаю, что "принимать жизнь во всей реальности" не дано человеку, а "отгораживаться от жизни" свойственно людям, стремящимся внести в этот мир что-то новое -- будь то детей, вещи или идеи -- в противоположность пережевыванию предзаданной "реальности". И что каждый сам принужден выбирать и выбирает, что принимать и от чего отгораживаться. Я думаю, что жизнь измеряется не адаптированностью и "естественностью", а продуктивностью и индивидуальной самореализацией. Каковой и желаю себе и всем остальным, будь они хоть инвалиды, хоть кто. Update: http://tsvetna.livejournal.com/2410682.html (9 Comments |Comment on this)
6:36 pm	Статья про кривизну и Хохшильда опубликована сегодня в электронном виде на сайте журнала Trans. AMS -- http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/S0002-9947-2012-05667-4/ Мне она по ссылке недоступна, но подписчики могут, надеюсь, читать. Экстраполяция трендов показывает, что можно ожидать выхода в свет бумажной версии где-то в начале зимы. Это тринадцатая (13) peer reviewed публикация в моей жизни. Из 10 архивных препринтов, обнародованных мною с 2007 года, 5 теперь опубликованы в виде рецензируемых монографий или журнальных статей. (Из них один в Москве, два в США и два в Европе; и еще один принят к печати в одном из московских журналов.) (Comment on this)
Tuesday, May 29th, 2012
3:47 pm	How to do what you love http://www.paulgraham.com/love.html The advice of parents will tend to err on the side of money. It seems safe to say there are more undergrads who want to be novelists and whose parents want them to be doctors than who want to be doctors and whose parents want them to be novelists. The kids think their parents are "materialistic." Not necessarily. All parents tend to be more conservative for their kids than they would for themselves, simply because, as parents, they share risks more than rewards. If your eight year old son decides to climb a tall tree, or your teenage daughter decides to date the local bad boy, you won't get a share in the excitement, but if your son falls, or your daughter gets pregnant, you'll have to deal with the consequences. (4 Comments |Comment on this)
Monday, May 28th, 2012
9:44 pm	Двойственность Серра-Гротендика/ко-контра соответствие на схемах На нетеровой схеме с дуализирующим комплексом, должна быть эквивалентность четырех триангулированных категорий: - копроизводной категории квазикогерентных пучков = гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков - (абсолютной) производной категории точной категории плоских квазикогерентных пучков - (абсолютной) производной категории точной категории локально инъективных контрагерентных копучков - контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков = контрапроизводной категории контрагерентных копучков локально кокручения = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков локально кокручения На нетеровой формальной схеме с дуализирующим комплексом (квазикогерентных пучков кручения), должна быть эквивалентность четырех триангулированных категорий: - копроизводной категории квазикогерентных пучков кручения = гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков кручения - (абсолютной) производной категории точной категории плоских про-квазикогерентных про-пучков - (абсолютной) производной категории точной категории локально инъективных инд-контрагерентных инд-копучков - контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков контрамодулей = контрапроизводной категории точной категории контрагерентных копучков контрамодулей локально кокручения = гомотопической категории комплексов проективных контрагерентных копучков контрамодулей локально кокручения Эквивалентности между плоскими и инъективными штуками (четные и нечетные позиции в списках выше) должны строиться с помощью дуализирующего комплекса (а как еще?). Эквивалентности отдельно между плоскими и отдельно между инъективными штуками (позиции одной четности в списках выше) должны строиться с помощью функторов контрагерентного ("готического") Hom/контратензорного произведения из/на структурного пучка. (5 Comments |Comment on this)
Sunday, May 27th, 2012
5:05 pm	О резольвентах (R,I)-контрамодулей - 2 Будем называть (R,I)-контрамодуль плоским, если он плоский, как R-модуль, и (R,I)-контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения. Лемма 1: если P -- R-контраприспособленный плоский R-модуль, то фактормодуль P/P(I) является плоским (R,I)-контрамодулем. Доказательство: как показано в Update к постингу http://posic.livejournal.com/792302.html , для любого s-контраприспособленного плоского R-модуля P фактормодуль P/P(s) является плоским R-модулем; так что остается применить индукцию по числу образующих идеала I. Лемма 2: если K -- R-модуль кокручения, для которого HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения (ср. постинг http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply , где то же самое доказывается в предположении, что s не делит 0 в R). Доказательство: в этих предположениях даже K(s) является R-модулем кокручения (что есть более сильное утверждение). В самом деле, если HomR(R[s−1]/R, K) = 0, то отображение HomR(R[s−1],K) → K инъективно и K(s) = HomR(R[s−1],K). Осталось вспомнить, что HomR из плоского R-модуля в R-модуль кокручения является R-модулем кокручения. Лемма 3: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является s-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(s) -- R-модуль кокручения, F/F(s) -- плоский R-модуль, и все три модуля являются s-контрамодулями. Доказательство: покажем прежде всего, что отображение K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html и HomR(R[s−1]/R, P) ⊂ HomR(R[s−1],P) = 0 по условию, откуда HomR(R[s−1]/R, K) = 0. Поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), так что остается снова воспользоваться определнием s-контрамодуля (применительно к P). Точность последовательности 0 → P → K/K(s) → F/F(s) → 0 следует из доказанного. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен, R-модуль F = K/P s-контраприспособлен. Поэтому F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Будучи расширением двух s-контрамодулей, модуль K/K(s) также является s-контрамодулем. Следствие 1: если 0 → P → K → F → 0 -- точная последовательность R-модулей, где P является I-контрамодулем, K -- R-модуль кокручения, а F -- плоский R-модуль, то 0 → P → K/K(I) → F/F(I) → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) -- (R,I)-контрамодуль кокручения, а F/F(I) -- плоский (R,I)-контрамодуль. Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 3. Замечание: можно ослабить условия и заключения леммы 3 и следствия 1, заменив условие, что K является R-модулем кокручения, на условие R-контраприспособленности K, и соответственно, заключение, что K/K(s) или K/K(I) является R-модулем кокручения, на вывод, что соответствующий модуль R-контраприспособлен. Хотелось бы научиться аналогично/одновременно усиливать условие и заключение относительно F и F/F(s) или F/F(I), заменяя плоскость на очень плоскость; проблема в том, что существующее доказательство леммы 1 неприменимо в очень плоской ситуации. Лемма 4: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является s-контрамодулем, то 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K/K(s) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(s) плоский, и все три R-модуля являются s-контрамодулями. Доказательство: покажем сначала, что гомоморфизм K → F индуцирует изоморфизм подмодулей K(s) → F(s). В самом деле, HomR(R[s−1]/R, K) ⊂ HomR(R[s−1]/R, F) = 0 согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/791884.html , поэтому K(s) = HomR(R[s−1],K) и F(s) = HomR(R[s−1],F), и остается воспользоваться условием ExtR*(R[s−1],P) = 0. Точность последовательности 0 → K/K(s) → F/F(s) → P → 0 из этого вытекает. Фактормодуль K/K(s) является R-модулем кокручения согласно лемме 2. Поскольку всякий R-модуль кокручения R-контраприспособлен и расширение s-контраприспособленных R-модулей s-контраприспособлено, R-модуль F, являющийся расширением P с помощью K, s-контраприспособлен. Поэтому фактормодуль F/F(s) является плоским R-модулем и s-контрамодулем согласно лемме 1. Поскольку R-модуль K s-контраприспособлен, R-модуль K/K(s) является s-контрамодулем. Следствие 2: если 0 → K → F → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, где K является R-модулем кокручения, R-модуль F плоский, а P является I-контрамодулем, то 0 → K/K(I) → F/F(I) → P → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой K/K(I) является R-модулем кокручения, R-модуль F/F(I) плоский, и все три R-модуля являются I-контрамодулями. Если к тому же P является (R,I)-контрамодулем, то все три модуля в новой точной последовательности являются (R,I)-контрамодулями. Доказательство: индукция по числу образующих идеала I, использующая лемму 4. (Comment on this)
11:55 am	В развитие вопроса о резольвентах (R,I)-контрамодулей Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, и пусть s ∈ R -- элемент. Напомним, что R-модуль P называется s-контраприспособленным, если ExtR1(R[s−1],P) = 0, и s-контрамодулем, если ExtRi(R[s−1],P) = 0 для всех i (т.е., i = 0 и i = 1). R-модуль P называется модулем кокручения, если ExtRi(F,P) = 0 для всех плоских R-модулей F и i > 0. На R-модуле P, являющемся s-контрамодулем, корректно определены и имеют разумные свойства операции бесконечного суммирования, сопоставляющие последовательности элементов pi ∈ P элемент ∑i=0∞ sipi ∈ P. Если I ⊂ R -- идеал в R, то R-модуль P называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I. Достаточно того, чтобы это условие выполнялось для s, пробегающих какое-нибудь множество образующих идеала I [см. 1202.2697, Appendix B]. Отметим, что любой фактормодуль s-контраприспособленного R-модуля s-контраприспособлен. Для любого R-модуля L, будем обозначать через L(s) образ отображения HomR(R[s−1],L) → L, индуцированного отображением локализации R → R[s−1]. Эквивалентным образом, R-подмодуль L(s) ⊂ L можно определить, как сумму всех R-подмодулей (или даже просто s-инвариантных абелевых подгрупп) L, на которых s действует сюръективно. Поэтому если L' = L/L(s) обозначает соответствующий фактормодуль, то L'(s) = 0. Таким образом, если R-модуль L s-контраприспособлен, то фактормодуль L/L(s) является s-контрамодулем (здесь существенно, что если L(s) = 0 для некоторого R-модуля L, то HomR(R[s−1],L) = 0). Пусть теперь s, t ∈ R и R-модуль L является t-контрамодулем. Тогда R-модуль HomR(R[s−1],L) -- также t-контрамодуль (потому что на нем можно ввести операции бесконечного суммирования по степеням t) и образ L(s) гомоморфизма t-контрамодулей HomR(R[s−1],L) → L является t-контрамодулем [loc. cit.]. Следовательно, фактормодуль L/L(s) остается t-контрамодулем. Если R-модуль L был к тому же s-контраприспособленным, L/L(s) будет как s-, так и t-контрамодулем. R-модуль P называется R-контраприспособленным, если он s-контраприспособлен для всех s ∈ R, и (R,I)-контрамодулем, если он является R-контраприспособленным I-контрамодулем. Применяя конструкцию выше последовательно для всех образующих идеала I ⊂ R, мы за конечное число шагов (равное числу таких образующих) получаем максимальный фактормодуль R-контраприспособленного R-модуля P, являющийся I-контрамодулем (и тогда уже и (R,I)-контрамодулем). Обозначим этот фактормодуль через P/P(I). (Comment on this)
12:51 am	Итак, ура Теперь я знаю, что такое контрагерентный копучок контрамодулей локально кокручения над нетеровой формальной схемой. Это примерно важнейшее продвижение с начала апреля, когда появилась вся эта контрагерентно-копучковая деятельность. Ср. http://posic.livejournal.com/785128.html (Comment on this)
12:18 am	Вопросы про вялые пучки и ковялые копучки 1. Верно ли, что всякий квазикогерентный пучок кокручения над нетеровой отделимой схемой вял? Нельзя ли эквивалентно определить квазикогерентные пучки кокручения как вялые пучки, сечения которых над аффинными открытыми подсхемами являются модулями кокручения над кольцами функций? Заметим, что внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок из когерентного пучка является вялым пучком. Более того, согласно теореме A.3 из 1102.0261, квазикогерентный внутренний Hom в инъективный квазикогерентный пучок OX-модулей из нетеровой квазикогерентной OX-алгебры является вялым пучком. 2. Верно ли, что проективные объекты категории контрагерентных копучков (произвольных или локально кокручения) над нетеровой схемой являются ковялыми (т.е. все их отображения коограничения косечений инъективны)? Нельзя ли эквивалентно определить проективные контрагерентные копучки как ковялые копучки с (очень) плоскими модулями косечений над аффинными открытыми подсхемами? Аргументом в пользу этого является результат http://posic.livejournal.com/791884.html , согласно которому у плоского контрагерентного копучка отображения коограничения инъективны для аффинной нетеровой схемы и ее главных аффинных открытых подсхем. (Comment on this)
Saturday, May 26th, 2012
11:29 pm	Полработы Когда-то я начинал писать серию автобиографических постингов под общим названием "Прописывание", с моралью, что, по моему опыту, если половина работы сделана, а вторая упирается в отдельные технические трудности, следует заняться прописыванием того, что получается, и то, что не получается, получится по ходу дела. Не исключено, что сейчас у меня случилась новая иллюстрация к этому утверждению. Кажется, я теперь умею доказывать существование плоских резольвент и резольвент кокручения в категории контрамодулей над адическим пополнением нетерова кольца. (Comment on this)
10:54 pm	В тензорном произведении плоского модуля на конечно-порожденный нет делимых элементов кручения Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, M -- конечно-порожденный A-модуль, f -- элемент A. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей HomA(A[f−1], P⊗AM) → P⊗AM инъективен. Другими словами, HomA(A[f−1]/A, P⊗AM) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности xi ∈ P⊗AM, i≥0, такой что fxi = xi−1 и x0 = 0. Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fn+1 тоже. Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗A(M/N) = (P⊗AM)/(P⊗AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента xn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., xn+1 ∈ P⊗AN ⊂ P⊗AM. Поскольку N аннулируется элементом fn, отсюда следует, что x1 = 0 в P⊗AM. P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗AM, fx = 0, и x = fny (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0. P.P.S. Вот другое доказательство, использующее теорему Говорова-Лазара. Ввиду рассуждения с нетеровостью выше, существует такое n, что всякий элемент M, аннулируемый fn+1, аннулируется fn. Тензорное произведение на плоский модуль P⊗AM является направленным прямым пределом конечных прямых сумм копий M. Отсюда легко вывести, что оно обладает тем же свойством. (Comment on this)
10:16 pm	Подмодуль делимых элементов контраприспособленного плоского модуля Важная (для моих целей) задача: пусть F -- плоский модуль над кольцом R и s ∈ R -- элемент. Обозначим через F(s) подмодуль всех бесконечно s-делимых, в сильном смысле, элементов F, т.е. образ отображения HomR(R[s−1], F) → F. Согласно предыдущему постингу, в случае нетерова кольца R это отображение инъективно. Является ли фактормодуль F/F(s) плоским? Хотя бы в случае, когда F не только плоский, но и s-контраприспособленный (т.е. ExtR1(R[s−1], F) = 0)? Вероятнее всего, ответ на этот вопрос хорошо известен специалистам по коммутативной алгебре, но единственное, что мне пока что удается показать, это что если модуль F s-контраприспособленный и плоский, то модуль F(s) тоже s-контраприспособленный и плоский. В самом деле, модуль HomR над когерентным кольцом R из s-очень плоского модуля (такого, как R[s−1]) в s-контраприспособленный плоский модуль является s-контраприспособленным и плоским (поскольку тензорное произведение конечно представимого модуля на такой Hom изоморфно Hom'у в тензорное произведение -- ср. с леммой I.1.8б) в черновике статьи). Update: вот доказательство плоскости F/F(s) для s-контраприспособленного плоского модуля F над нетеровым кольцом R. Как объяснено в предыдущем абзаце, для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется естественный изоморфизм F(s)⊗RM = HomR(R[s−1], F⊗RM). Как объяснено в следующем постинге, отображение HomR(R[s−1], F⊗RM) → F⊗RM инъективно. Таким образом, мы показали, что естественное отображение F(s)⊗RM → F⊗RM инъективно для любого конечно-порожденного R-модуля M. Но это и значит, что R-модуль F/F(s) плоский (поскольку уж модуль F плоский). UUpdate: что касается леммы о коммутации Hom с тензорным произведением, то в наибольшей (коммутативной) общности она выглядит так. Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, F -- R-модуль конечной проективной размерности, P -- плоский R-модуль, такой что ExtRi(F,P) = 0 для всех i > 0. Тогда для любого конечно-представимого R-модуля M имеется изоморфизм HomR(F,P) ⊗R M = HomR(F, P⊗RM), и R-модуль HomR(F,P) плоский. В самом деле, покажем сначала, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0 для всех i > 0. Для этого рассмотрим левую резольвенту модуля M, составленную из конечно-порожденных проективных модулей. Помножив ее тензорно на P, получим левую резольвенту модуля P⊗RM, составленную из модулей, высшие Ext'ы в которые из модуля F зануляются. Теперь ExtRi(F, P⊗RM) = ExtRi+n(F, Zn) при i > 0, где Zn обозначает n-й модуль циклов рассматриваемой резольвенты модуля P⊗RM. Поскольку F имеет конечную проективную размерность, взяв n достаточно большим, заключаем, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0. Теперь функтор HomR(F, P⊗RM) точен на категории конечно-представимых R-модулей M, а функтор HomR(F,P) ⊗R M точен справа. Между ними есть естественное преобразование HomR(F,P) ⊗R M → HomR(F, P⊗RM), являющееся изоморфизмом для конечно-порожденных проективных/свободных модулей M. Отсюда следует, что это изоморфизм для всех конечно-представимых M и модуль HomR(F,P) плоский. (Comment on this)
8:24 pm	В плоском модуле над нетеровым кольцом нет сильно делимых элементов кручения Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, f -- элемент А. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей HomA(A[f−1], P) → P (индуцированный гомоморфизмом А-модулей A → A[f−1]) инъективен. Другими словами, HomA(A[f−1]/A, P) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности элементов pi ∈ P, i≥0, таких что fpi = pi−1 и p0 = 0. Доказательство (ср. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", лемма 3.3 главы III): рассмотрим возрастающую последовательность идеалов -- аннуляторов степеней элемента f в A. Пусть J -- наибольший идеал в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fn. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле A/J; соответственно, и умножение на fn+1 тоже. Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fn+1 должно действовать инъективным эндоморфизмом на A-модуле P/JP. В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента pn+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е. элемент pn+1 в A-модуле P делится на идеал J. Поскольку J аннулируется элементом fn, отсюда следует, что p1 = 0 в P. Ср. с (неудавшимся) постингом http://posic.livejournal.com/779768.html?mode=reply (Comment on this)
Friday, May 25th, 2012
11:57 pm	Вялые пучки и дистрибутивные наборы Пусть X -- топологическое пространство, покрытое конечным набором своих открытых подмножеств U1, ..., Un. Предположим для простоты, что подмножества эти находятся в общем положении, т.е. для любого поднабора Ui найдется точка из X, содержащаяся в подмножествах из этого поднабора и не содержащаяся в остальных. Пусть F -- пучок абелевых групп на X. Рассмотрим две полные подкатегории в категории открытых подмножеств X (и тождественных вложений): подкатегория C будет состоять из всех пересечений непустых поднаборов Ui, а подкатегория D -- из всех открытых подмножеств, которые можно получить из Ui объединениями и пересечениями. Заметим, что всякий контравариантный функтор C → Ab однозначно продолжается до контравариантного функтора D → Ab, удовлетворяющего аксиоме пучка для покрытий открытых множеств из D открытыми множествами из D. Будем говорить, что пучок F вял (в ограничении) на D, если для все отображения ограничения между группами сечений F над открытыми подмножествами X, входящими в D, сюръективны. Утверждается, что пучок F вял на D тогда и только тогда, когда - отображение F(X) → F(Ui1∩...∩Uik) сюръективно для всех i1 < ... < ik; - ядро этого отображения, как подгруппа в F(X), равно сумме ядер отображений F(X) → F(Uis) по всем s от 1 до k; - набор из n подгрупп -- ядер отображений F(X) → F(Ui) -- порождает дистрибутивную решетку подгрупп группы F(X). Полного доказательства у меня в данный момент нет, но очень похоже на правду. Такой элементарный пример утверждения в знакомом русле "простое условие (типа сюръективности), примененное к большому множеству объектов, замкнутому относительно операций, эквивалентно сложному условию (типа кошулевости), примененному к набору образующих этого большого множества объектов". Ср. Quadratic Algebras, Lemma 4.5 from Chapter 3. (Comment on this)
Sunday, May 20th, 2012
5:09 pm	Контрагерентные копучки - 2 Продолжение http://posic.livejournal.com/786051.html?mode=reply II.5. Контрагерентные копучки fHom между квазикогерентными пучками ( Read more... ) II.6. Контратензорное произведение пучков и копучков ( Read more... ) II.7. Локально контрагерентные копучки II.8. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков II.9. Гомологии локально контрагерентных копучков II.10. Прямые и обратные образы контрагерентных копучков II III. Ко-контра соответствие над регулярной схемой IV. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой V. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом VI. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций VII. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие A. Ко-контра соответствие над аффинной формальной схемой B. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом (Comment on this)