Лёня Посицельский's Journal

Username:	Password:
Forgot your password?	Remember Me

Квазиизоморфизмы DG-коалгебр
Д.К. рассказал контрпример: квазиизоморфизм DG-коалгебр может не индуцировать эквивалентности производных категорий DG-комодулей, и производных категорий DG-контрамодулей тоже. Подробности, которых я не смог найти в его тексте, имеются теперь в моем (со ссылкой).

Я таки всегда говорил, что для DG-комодулей надо рассматривать не производную, а копроизводную категорию. Соответственно и правильное понятие слабой эквивалентности DG-коалгебр -- более тонкое, чем квазиизоморфизм. В частности, фильтрованные квазиизоморфизмы DG-коалгебр при подходящих условиях индуцируют эквивалентности копроизводных категорий DG-комодулей и контрапроизводных категорий DG-контрамодулей. Впрочем, они же индуцируют и эквивалентности производных категорий DG-комодулей и DG-контрамодулей.

Уезжаю из Москвы на неделю. Будет ли доступ к интернету, не знаю, вероятно, нет.

Автобиографическое
Манин в каком-то из интервью говорил, что молодые математики имеют пробивную силу, преодолевают трудности, а старые -- обладают глубоким видением, но ничего не могут сделать. Находясь в возрасте, когда я уже перестал быть "молодым математиком" и еще не стал "старым", я отмечаю, что моя жизнь в науке сложилась по-другому.

Мои ранние результаты -- это набор красивых, прозрачных идей, техническая реализация которых не представляет никаких трудностей. Я, конечно, пытался в юности проявить пробивную силу, штурмуя трудные проблемы, но попытки эти были неизменно безуспешны. В паре редких случаев, когда удавалось таким образом добраться до доказательств, изнеможение было настолько велико, что доказательства эти оставались не только не записанными, но даже и не запомненными; в памяти сохранялись только формулировки. Единственная моя ранняя работа, где преодолеваются технические трудности -- короткая заметка, придуманная и написанная за два дня, в состоянии сильной головной боли, во время подготовки к первой поездке в Штаты (она осталась неопубликованной и только вывешена в Архиве). Может быть, причина этому в том, что я всегда был очень самостоятелен в своих математических занятиях и по большей части решал задачи, которые ставил себе сам.

Не умея доказать все, что хотелось, я начал записывать и публиковать гипотезы, поначалу имплицитные, а потом все чаще явно сформулированные в таком виде. За редким исключением, никто, кроме меня самого, не пытался, насколько я знаю, их доказывать. Кроме самой первой своей работы, где доказывалась некая гипотеза, незадолго до того выдвинутая А.Г., я и сам почти не пытался доказывать чужих гипотез, поскольку мне хватало собственных. Первый случай, когда мне удалось доказать предположение, задолго до доказательства мною самим же и сформулированное, относится уже ко второй половине 90-х. Промежуток времени между моей формулировкой и моим же доказательством, составлявший полтора-два года в 90-х, увеличился до 4-5 лет в 2000-х.

Ничего по-настоящему трудного я так и не доказал до сих пор, и вряд ли когда-нибудь докажу. Но все же мои современные рассуждения сложнее и длиннее ранних. Не то, чтобы я стал умнее с возрастом, но, может быть, научился выбирать дыхание, соответствующее складу характера. Подступать к проблемам не штурмом, но осадой. Меньше пользоваться вычислениями и больше аналогиями. Полагаться не на действие, а на созерцание.

Математические проблемы
Как известно, слово "проблема" имеет два значения -- "проблема, которую надо решить" и "проблема, с которой нужно жить". Казалось бы, наука должна быть родом деятельности, в которой проблемы решают, а не приспосабливаются к ним. На практике все оказывается несколько сложнее.

Не превратились ли некоторые трудности, с которыми сталкивается современная гомологическая алгебра, в "проблемы, с которыми нужно жить" скорее чем "проблемы, которые надо решить"? Чем еще, если не этим, можно объяснить ту равнодушную реакцию, с которой столкнулись попытки частичного решения проблемы восстановления высшей К-теории по производной категории, предпринятые А.Н.? Не приобретает ли аналогичный статус "проблемы, с которой нужно жить" более широкая проблема "неправильности понятия триангулированной категории", проблема нахождения правильной, "более жесткой" версии этого понятия? Не приобрела ли, наконец, аналогичный статус проблема построения производной категории D-модулей в терминах DG-модулей над комплексом де Рама, подробное решение которой я недавно опубликовал?

Более оптимистический взгляд состоял бы в том, что нет важных проблем, простые и полные решения которых были бы проигнорированы математическим сообществом, но есть важные проблемы, запутанные и частичные решения которых игнорируются в ожидании решений простых и полных. Проблемой правильного определения триангулированной категории люди занимаются; и проблемой восстановления К-теории по производной категории недавно занялся Д.К. Может быть, есть общая тенденция игнорирования запутанных и частичных решений нечетко поставленных (т.е., как правило, самых важных) проблем? Может быть, такое положение вещей даже идет на пользу делу?

В который раз об то само место
Пытаюсь думать над этим вопросом, вооружившись этими соображениями.

Когомологии Тейта
Через две недели после того, как написал об этом в статье -- наконец понял, что это такое.

Пусть A -- DG-кольцо, подлежащее градуированное кольцо которого является горенштейновым слева градуированным кольцом (т.е. классы градуированных левых модулей конечной проективной и конечной инъективной размерности совпадают). Тогда имеется естественная эквивалентность между копроизводной и контрапроизводной категориями левых DG-модулей над A, поскольку обе эти категории эквивалентны абсолютной производной категории левых DG-модулей над A, подлежащие градуированные модули которых имеют конечную инъективную = проективную размерность. Эта эквивалентность категорий образует коммутативную диаграмму с функторами локализации, отображающими копроизводную и контрапроизводную категории DG-модулей над A в производную категорию DG-модулей.

Функтор, отображающий копроизводную категорию DG-модулей над A в производную категорию DG-модулей имеет правый сопряженный функтор (инъективные резольвенты Спалтеншнейна) для любого DG-кольца A. Аналогично, функтор, отображающий контрапроизводную категорию DG-модулей в производную категорию, имеет левый сопряженный функтор (проективные резольвенты Спалтенштейна). Таким образом, в горенштейновом случае функтор локализации из копроизводной = контрапроизводной категории имеет как левый, так и правый сопряженные. В такой ситуации имеется функтор, измеряющий разницу (конус) между левым и правым сопряженными функторами; этот функтор отображает производную категорию DG-модулей над A в ядро функтора локализации. Этот функтор надо скомпоновать с функтором Ext на ядре функтора локализации, чтобы получить когомологии Тейта как функтор двух аргументов на производной категории DG-модулей над A.

Морально, таким образом, когомологии Тейта есть функтор Ext на ядре функтора локализации из копроизводной = контрапроизводной категории DG-модулей над DG-кольцом A в производную категорию DG-модулей над А, где подлежащее градуированное кольцо DG-кольца A должно быть горенштейновым в указанном выше смысле.

Статья про два рода производных категорий и кошулеву двойственность
в основном написана -- http://arxiv.org/abs/0905.2621

Теперь надо думать а) в какой журнал ее послать (кто публикует такие длинные тексты?) и б) чем заниматься дальше, поскольку весь этот экзотически-производно-кошулево-полубесконечный сюжет у меня теперь в основном закончен.

Current Mood: accomplished

Вспоминая (не)вспоминаемое: t-структуры и кошулевость
Пусть на триангулированной категории D имеется t-структура, в сердцевине E которой все объекты имеют конечную длину. Рассмотрим "градуированную алгебру со многими объектами" Ext-ов в D между неприводимыми объектами из E. Если эта алгебра кошулева, то Ext-ы в E изоморфны Ext-ам в D. Я анонсировал этот результат лет 12 назад, но не записал и с тех пор в основном забыл. По случаю, попробовал тут вспомнить.

Идеи доказательства такие: рассмотрим точную категорию F конечно-фильтрованных объектов из D, присоединенные факторы которых принадлежат полупростой части Е. Ext-ы в категории E можно получить предельным переходом по ослаблению условий, налагаемых фильтрацией, из Ext-ов в категории F. Рассмотрим функтор слоя, сопоставляющий объекту категории F его присоединенный фактор -- градуированный полупростой объект категории E. Градуированными эндоморфизмами этого функтора слоя является некоторая "градуированная алгебра со многими объектами" A. Пусть категория градуированных A-модулей конечной длины обозначается через G; тогда имеется функтор "присоединенного фактора" F -> G. Должна быть какая-то чуть более прямая конструкция этого функтора, позволяющая связать Ext-ы в категориях F и G длинной точной последовательностью. Это должно делаться прямо на уровне Ext-ов по Йонеде. С другой стороны, Ext-ы в категории G есть Ext-ы над "градуированной алгеброй со многими объектами" A, а такие Ext-ы могут быть не совсем какими угодно. Между Ext-ами в категориях E и D есть известная связь (первые совпадают, вторые вкладываются, третьи отображаются), пользуясь которой вместе с кошулевостью Ext-ов в D можно увязать в конце концов Ext-ы в D и Ext-ы над A, заключив, что A кошулева. После этого можно посчитать Ext-ы в F, а значит и в E. "Ext-ы" здесь по большей части, но может быть не всегда, обозначают Ext-ы между неприводимыми объектами из E.

Все это, конечно, такая категорная вариация на известную тему "если когомологии проконечной группы с Z/l-коэффициентами кошулевы, то они совпадают с когомологиями ее максимальной про-l-факторгруппы". При этом точная категория F из рассуждения выше есть аналог категории смешанных мотивов Тейта с Z/l-коэффициентами.

Псевдокомпактные модули по Габриэлю
Над коалгеброй ( = топологической алгеброй, двойственной к коалгебре) есть два типа модульных категорий, а над топологическим кольцом, являющимся (скажем) проективным пределом артиновых колец, есть три типа модульных категорий! Одна из них очевидная, про другую давно знали все, кроме меня, ну а про третью давно знаю я, но вряд ли кто-нибудь еще.

Все дело в том, что категория конечномерных левых модулей над конечномерной алгеброй противоположна категории конечномерных правых модулей над той же алгеброй (функтор Hom_k(-,k)), но для категории модулей конечной длины над артиновым кольцом никакой подобной двойственности нет. В результате, над проартиновым кольцом можно рассматривать дискретные модули (= индуктивные пределы дискретных модулей конечной длины), а можно -- проективные пределы дискретных модулей конечной длины (псевдокомпактные модули, см. диссертацию П.Г.), и это -- совершенно разные вещи. И еще контрамодули можно рассматривать.

Похоже, комодульно-контрамодульное соответствие обобщается на топологические кольца, более общие, чем проконечные или двойственные к коалгебрам, как антиэквивалентность контрапроизводных категорий псевдокомпактных модулей и контрамодулей.

Общие блага
Время от времени в ЖЖ проходит очередная волна дискуссий о так наз. "общих" или "общественных" благах в экономике -- существуют ли они и т.д. Я тут подумал и решил, что я думаю об этом вот что.

Существует проблема общих благ как проблема неизбежно высоких издержек определенного рода при определенном типе организации процессов производства и управления. Чтобы не заморачиваться определениями, в дискуссию о которых мне не удалось вникнуть, я приведу простой пример: уборка коридоров-лестниц-лифтов в многоквартирном доме.

Очевидно, что есть две принципиально разные ситуации, в одной из которых вопрос уборки решается очень просто, а в другой -- гораздо сложнее. Если весь дом принадлежит одному собственнику (неважно, человеку или корпорации), а жильцы арендуют у этого собственника квартиры, то поддержание определенного уровня чистоты входит в пакет услуг, предоставляемых собственником дома арендаторам, и выбор такого уровня является вопросом проводимой собственником политики. Жильцы, которым в их нынешнем доме слишком грязно, относительно легко могут переехать в какой-нибудь другой дом, где почище и подороже, и наоборот, жильцы, которые находят, что уборка обходится слишком дорого, могут переехать куда-нибудь, где подешевле и погрязнее.

Другая ситуация -- это кондоминиум, где жильцы являются собственниками своих квартир, а общие пространства дома находятся в их совместном владении. В этой ситуации возникает проблема чистоты как "общего блага". Проблема состоит, как известно, в том, что кто-то предпочитает почище, но подороже, кто-то -- погрязнее, но подешевле, кто-то -- почище, но чтобы за это заплатили соседи, а действия правления кондоминиума в этой обстановке жильцам трудно контролировать. И купля-продажа квартиры -- процесс гораздо более сложный, чем прекращение одной аренды и начало другой. Таким образом, разнообразные издержки, связанные с поддержанием чистоты в кондоминиуме, неизбежно намного выше, при прочих равных, чем аналогичные издержки в случае доходного дома. У кондоминиума могут быть другие преимущества, разумеется.

В случае нормально устроенного кондоминиума проблема носит экономический, но не правовой характер, поскольку процедуры принятия решений прописаны в уставе, с которым все жильцы добровольно согласились при вселении. Но можно представить себе исторически образовавшийся многоквартирный дом без легитимного устава, или большую территорию типа города или страны, где нельзя принять конституцию на основе всеобщего согласия, и тем не менее есть проблемы аналогичного характера, от строительства маяков до оборонных расходов.

Естественно-правовой анализ соответствующей коллизии очевиден. Если кому-то нужен маяк, они могут скинуться и построить себе маяк. Будь море частным, это бы вышло дешевле, но так уж жизнь сложилась, что море общее. Издержки на организацию финансирования -- такие же издержки, как и любые другие. Их существование не может быть основанием для насильственных действий по отношению к кому бы то ни было. В каком смысле имеет место недопроизводство общих благ при свободном рынке? Разумеется, не будь "фрирайдерских" издержек, маяков бы строилось больше. Это применимо к любым издержкам вообще. Или имеется в виду, что при налоговом финансировании общих благ производится больше, чем в отсутствие такого финансирования? Это часто верно в краткосрочной перспективе, примерно так же, как то, что грабитель при прочих равных кушает сытнее, чем добропорядочный гражданин. Непонятно только, что из этого следует.

Если же оставить в стороне этику и право и обратится к чистой логике, то можно заметить следующее. Разговор о практической благотворности налогового финансирования производства общих благ может иметь какой-то смысл применительно к диктатуре или абсолютной монархии, но применительно к демократической форме правления он заведомо бессмысленен. Худшая из всех проблем общих благ есть проблема демократического выбора правителей. Если я склонен к фрирайдерству, я не стану вникать в программы политических партий даже в том случае, когда буду иметь основания предполагать, что на кону стоит вопрос моей жизни и смерти. Слишком мала вероятность, что мой голос окажется решающим. Поручить демократически избираемому правительству производить общие блага за счет налоговых поступлений -- значит заменить ряд сложных проблем общих благ на одну неразрешимую.

Update:

gavagay уже писал об этом, см. http://gavagay.livejournal.com/90437.html

О комодульно-контрамодульном соответствии
До сих пор такая штука существовала только для коколец над базовым кольцом конечной гомологической размерности (ну и в разных других ситуациях тоже, но меня сейчас интересует случай кокольца над кольцом). Проблема упиралась в отсутствие подходящего определения смешанной производной категории для кокольца; в таком виде в этой проблеме никаких продвижений до сих пор нет и есть сомнения, что они вообще возможны.

Но обнаружился другой подход: смириться с нерешаемостью проблемы и задаться вопросом о комодульно-контрамодульном соответствии для банальных ко- и контрапроизводных категорий над кокольцом. В таком виде, похоже, комодульно-контрамодульное соответствие можно получить для коколец над горенштейновым кольцом (в смысле предыдущих постингов).

О двух двойственных свойствах колец
Рассмотрим два важных свойства кольца R:

(*) Счетные произведения проективных левых R-модулей имеют конечную проективную размерность.

(**) Счетные суммы инъективных R-модулей имеют конечную инъективную размерность.

Пусть S -> R -- морфизм колец. Тогда если R является конечно-порожденным проективным правым S-модулем, то R обладает свойством (*), как только S обладает свойством (*). Аналогично, если R является конечно-порожденным проективным левым S-модулем, то R обладает свойством (**), как только S обладает свойством (**).

Не Бог весть что, конечно, но все же. Особенно в сочетании с прежним замечанием, что горенштейновы кольца обладают свойствами (*) и (**).

Вопросы по математике
бывают прямые и косвенные. Косвенный вопрос по математике имеет вид:
- Вот у меня есть <прямой вопрос по математике, обычно весьма специальный>. Вы не подскажете, кому из математиков мне лучше задать этот вопрос?

В городе Падерборне
есть двухэтажные улицы.

Ко/контрапроизводная категория горенштейновой точной категории
(По итогам обсуждения в гостевой комнате.) Пусть имеется точная категория, в которой достаточно много проективных и инъективных объектов и классы объектов конечной проективной размерности и конечной инъективной размерности совпадают (горенштейнова точная категория). Пусть в этой точной категории также существуют и точны все прямые суммы и прямые произведения. Тогда ее копроизводная и контрапроизводная категории эквивалентны.

В самом деле, во-первых, инъективная размерность проективных модулей ограничена константой, поскольку иначе инъективная размерность прямой суммы последовательности проективных модулей возрастающей инъективной размерности была бы бесконечной. Поэтому бесконечное произведение проективных модулей имеет конечную инъективную размерность, а значит и конечную проективную размерность. Так что контрапроизводная категория есть гомотопическая категория комплексов проективных объектов; аналогично копроизводная категория есть гомотопическая категория комплексов инъективных объектов. Теперь и та, и другая есть абсолютная производная категория комплексов модулей конечной проективной размерности = конечной инъективной размерности.

То же самое верно для точных DG-категорий. В частности, все это применимо к CDG-модулям над CDG-кольцами, подлежащие градуированные кольца которых горенштейновы.

Центрально-тензорное произведение двух колец над общим некоммутативным подкольцом
Пусть A и B -- два некоммутативных кольца, снабженных морфизмами колец из одного и того же кольца R, т.е. R→A и R→B. Рассмотрим в тензорном произведении A⊗_RB подгруппу С всех элементов c, таких что rc = cr для всех r∈R (равенство в A⊗_RB). Тогда С является некоммутативным кольцом относительно умножения (a'⊗b')(a''⊗b'') = a''a'⊗b'b''.

Как доказывать, что триангулированный функтор вполне строгий
Можно вот как: пусть точный функтор между триангулированными категориями консервативен (отражает изоморфизмы, или, что то же самое, переводит ненулевые объекты в ненулевые). Тогда если он сюръективен на морфизмах, то он также и инъективен на морфизмах.

(Это я посмотрел статью Д.О. про особенности и модель Ландау-Гинзбурга. Ну, что сказать? Там, конечно, само собой напрашивается рассмотрение неаффинного случая и производной категории второго рода, но превратить это в теорему мне не удается -- похоже, мое понимание алгебраической геометрии недостаточно.)

Релевантный вопрос по теории колец
При каких условиях на кольцо R счетные прямые суммы инъективных R-модулей имеют конечную инъективную размерность? Аналогично, при каких условиях на R счетные произведения проективных R-модулей имеют конечную проективную размерность?

Осталось понять, кому бы этот вопрос задать. Кто у нас сейчас крупные специалисты по гомологическим аспектам общей теории колец?

Бесконечные произведения, проективные модули, контрапроизводные категории
Что-то все-таки не в порядке с моим подходом к этому сюжету. Все было вроде ничего, хотя и не без трудностей, но вот эта работа вывела меня из равновесия. Изначальный замысел состоял, можно сказать, в том, чтобы описать гомотопическую категорию проективных объектов как факторкатегорию гомотопической категории всей абелевой категории. Теперь оказывается:

1. Гомотопическая категория проективных модулей над любым кольцом хорошо порождена, и отсюда следует существование правого сопряженного функтора к функтору ее вложения в гомотопическую категорию всех модулей. Таким образом, она с ее правым ортогоналом образуют полуортогональное разложение.

2. Как явно описать этот ортогонал, совершенно неизвестно. Судя по ответу А.Н. на мое письмо, похоже, что он этого не знает. Конструкция контрапроизводной категории дает ответ на этот вопрос только при ограничительных предположениях, таких как правая когерентность кольца плюс конечность проективных размерностей плоских модулей.

3. Зато есть ответ на менее амбициозный вопрос об описании пересечения этого ортогонала с гомотопической категорией комплексов плоских модулей. Это пересечение состоит из чисто ацикличных комплексов, т.е., таких ацикличных комплексов, у которых модули коциклов плоские. Это верно для любого кольца, как доказано в статье.

4. Теперь если заменить кольцо на схему, то обнаруживается определение аналога гомотопической категории комплексов проективных модулей: факторкатегория комплексов плоских пучков по чисто ацикличным. Можно предположить, что для каких-то там не очень плохих схем такая факторкатегория тоже хорошо порождена, и может быть, отсюда даже можно вывести, что она является факторкатегорией гомотопической категории всех квазикогерентных пучков. [Update: действительно, все это доказано в диссертации Д.М., для случая отделимой нетеровой схемы.]

5. Что это за подкатегория получается в гомотопической категории квазикогерентных пучков, по которой надо факторизовать, совершенно неизвестно, но ясно, что конструкция контрапроизводной категории тут вряд ли поможет. С фактом отсутствия проективных объектов в категории квазикогерентных пучков тесно связан факт неточности бесконечных произведений в ней.

6. Зато у А.Н. только комплексы модулей или пучков, а у меня CDG-модули. Хорошо бы как-то все это соединить и совместно обобщить.

Прокрастинация наоборот
Жду, пока пройдет пятничный дедлайн (полтора часа осталось), чтобы повесить статью в архив и иметь еще время поисправлять ее до вечера понедельника. Интересно, это только мне нравится так использовать выходные в архиве или еще другие любители есть?