Категории контрамодулей как полные подкатегории категорий модулей - 2

Сегодня мне кажется, что, может быть, можно доказать такую теорему:

Пусть B -- категория моделей аддитивной κ-арной алгебраической теории (т.е., категория модулей над аддитивной κ-достижимой монадой T на категории множеств), и пусть P -- ее каноническая проективная образующая (cвободный T-модуль с одной образующей). Выберем множество X достаточно большой мощности (такой, что кардинал, следующий за мощностью X, не меньше κ), обозначим через Q прямую сумму X копий объекта P в категории B (свободный T-модуль с X образующими), и обозначим через S кольцо HomB(Q,Q)op.

Тогда функтор Ψ = HomB(Q,−) отождествляет B с полной подкатегорией в категории левых S-модулей, обладающей следующими свойствами:

1. Функтор вложения Ψ: B → S-mod -- (вполне строгий), точный и имеет левый сопряженный функтор Δ: S-mod → B;

2. Полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod замкнута относительно (не только ядер, коядер и бесконечных произведений, но также и) расширений;

3. Триангулированный функтор Ψ: D(B) → D(S-mod), индуцированный точным функтором вложения Ψ: B → S-mod, является вполне строгим;

4. Для каждого множества Y рассмотрим инъективный морфизм левых S-модулей S(Y) → HomB(Q,Q(Y)), где прямая сумма Y копий слева берется в категории левых S-модулей, а справа -- в категории B. Обозначим через LY коядро этого морфизма. Тогда полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod состоит в точности из всех таких левых S-модулей С, для которых HomS(LY,C) = 0 = ExtS1(LY,C) для всех множеств Y -- или, что оказывается в данном случае эквивалентным, из всех таких левых S-модулей C, для которых ExtSn(LY,C) = 0 для всех множеств Y и всех n ≥ 0.

Пункт 1 мы знали и раньше, пункт 2 выводится из пункта 3, и пункт 4 выводится из пункта 2. Идея доказательства пункта 3 состоит в том, что функтор Δ переводит проективные S-модули в "λ-плоские S-модули" (λ-фильтрованные индуктивные пределы проективных S-модулей с меньше, чем λ образующими, где λ -- следующий кардинал после мощности множества X), а короткие точные последовательности λ-плоских S-модулей -- в короткие точные последовательности.

Для этого доказательства необходимо развить теорию λ-плоских модулей над кольцом, где λ -- регулярный кардинал. В частности, как минимум, такая теория должна доказывать, что ядро сюръективного морфизма λ-плоских модулей является λ-плоским модулем (также, расширение, и т.д.)

Пришел ответ из Journal of Algebra and its Applications

Работа про триангулированную эквивалентность Матлиса принята к печати. Обещают, что она появится в электронном виде на сайте журнала в течение пары недель, и выйдет из печати в пределах трех месяцев.

К вчерашним событиям

Что в России премьер-министр вор -- это очень хорошо. Во-первых, те средства, которые он украл, не пошли на развязывание каких-нибудь очередных войн (а на что еще они могли бы пойти?) Во-вторых, разоблачение его воровства выводит на улицы людей, которые, возможно, не вышли бы протестовать против властей по какому-нибудь другому поводу.

Я искренне желаю Алексею Навальному и его сотрудникам, и их сторонникам, и всем, кто вчера вышел на протестные манифестации, и всем, кто их поддерживает, успехов в свержении нынешнего режима в России. Хотя он и кажется мне маловероятным в обозримой перспективе, такой успех.

Категории контрамодулей как полные подкатегории категорий модулей

0. Пусть R -- ассоциативное кольцо, R^ -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть R → R^ -- гомоморфизм ассоциативных колец.

1. Пусть R-mod -- абелева категория всех левых R-модулей, B ⊂ R-mod -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod (так что, в частности, B -- абелева категория с бесконечными произведениями, и ее вложение B → R-mod -- точный функтор, сохраняющий бесконечные произведения).

Пусть Δ: R-mod → B -- рефлектор (т.е., функтор, сопряженный слева к вложению). Предположим, что функтор Δ переводит свободные R-модули R[X] в подлежащие R-модули свободных R^-контрамодулей ("модули убывающих функций") R^[[X]], причем морфизм сопряжения R[X] → R^[[X]] совпадает с отображением, индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

Тогда забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий, и он отождествляет категорию левых R^-контрамодулей R^-contra с полной подкатегорией B ⊂ R-mod.

2. Обратно, если забывающий функтор R^-contra → R-mod -- вполне строгий и B ⊂ R-mod -- его образ, то B -- рефлективная полная подкатегория, замкнутая относительно коядер в R-mod, и рефлектор Δ: R-mod → B переводит R[X] в R^[[X]] с морфизмом сопряжения R[X] → R^[[X]], индуцированным гомоморфизмом колец R → R^.

3. Выводя за скобки полную подкатегорию B, можно сформулировать такой совсем очевидный критерий: функтор R^-contra → R-mod вполне строгий тогда и только тогда, когда для любого левого R-контрамодуля P и любого множества X естественное вложение P^X = HomR^(R^[[X]],P) → HomR(R^[[X]],P) является биекцией, или, что все равно, естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

4. Обратно, если функтор R^-contra → R-mod вполне строгий, то левый R-модуль P является левым R^-контрамодулем (принадлежит образу этого функтора) тогда и только тогда, когда для любого множества X естественное отображение HomR(R^[[X]],P) → HomR(R[X],P) = P^X является биекцией.

Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/1549985.html , http://posic.livejournal.com/1347266.html

Статья про ковариантную двойственность Серра-Гротендика окончательно вышла из печати

http://link.springer.com/article/10.1007/s00029-016-0290-6

http://link.springer.com/journal/29/23/2/

Это девятнадцатая рецензированная публикация в моей жизни, одиннадцатая за последние десять с небольшим лет, она же одиннадцатая за последние семь с небольшим лет, и пятая за последние три года, она же пятая с момента моего переезда из Москвы в Израиль.

Планирование-действие-рефлексия

1. Видимо, это все-таки важная работа, которую я пару дней назад на Архив вывесил. Она связывает почти классический уже (двадцатилетней давности) сюжет про классы Ауслендера и Басса с моей наукой про экзотические производные категории.

Может быть, это даже более важная работа, чем препринты прошлого года. Более сложная, с большим количеством нового понимания и т.д. Надо бы ее причесать еще немножко и попробовать послать куда-то. В Compositio, что ли?

2. Тут намечается такая категория текстов, сочетающих техническую завершенность в каком-то одном отношении с недостатоком идей в другом. Как будто есть некое дело, состоящее из двух половинок, и одну половинку я уже хорошо научился делать, а к другой не знаю, как подступиться.

Стоит ли такое писать? Несколько лет назад, у меня был препринт про категорные последовательности Бокштейна -- вот он таким получился. Теперь можно написать в таком духе про псевдодуализирующие комплексы бикомодулей и бимодулей кручения.

3. Во всяком случае, про псевдодуализирующие комплексы бикомодулей и бимодулей кручения -- это должны быть отдельные тексты. Вероятно, и друг от друга, -- и уж во всяком случае, от текста про псевдодуализирующие комплексы бимодулей. Иначе получится путаница, в которой редкий читатель разберется -- там теперь концепции разные, что удается сделать и что нет.

Потому-то, прежде всего, уже выложенный текст про псевдодуализирующие комплексы бимодулей нуждается в причесывании -- он просто писался из расчета, что там будут эти три сюжета собраны вместе. Если остается только один сюжет из трех, какие-то композиционные решения можно и поменять. Детали доказательств, кроме того, может быть, кое-где добавить.

Новости псевды

А вот теперь, написав 54 страницы -- http://positselski.narod.ru/pseudo.pdf -- я уперся в некую трудность, про которую смутно помню, что уже бился об нее лбом, когда писал про MGM-двойственность два года назад.

Пока что получается так, что в ситуации с модулями все, вроде бы, работает (о чем уже дописано и выложено в Архив). В ситуациях же с комодулями или модулями кручения, триангулированные эквивалентности между производными категориями каких-то там точных категорий я построить по псевдо-дуализирующему комплексу вроде бы могу.

А вот доказать, что эти производные категории точных категорий являются псевдо-производными категориями всей в целом абелевой категории комодулей/модулей кручения/контрамодулей не удается мне. Замкнутость относительно прямых сумм/произведений не удается доказать для этих точных подкатегорий. А без этого моя наука про псевдо-производные категории не ездит.