Об трансгендерство

Oleg Shestopalov:

"Если мальчик считает себя девочкой, его называют (насколько я понимаю) трансгендером и окружают вниманием и заботой.
Если мальчик считает себя другим мальчиком, его считают нездоровым и окружают психиатрами.
Почувствуйте разницу."

https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=1925136004472032&id=100009269534682&comment_id=1925275381124761
https://www.facebook.com/raziel.glozman/posts/2171363452889803

https://www.facebook.com/posic/posts/1941189999229158

Левоперпендикулярные абелевы подкатегории в категориях модулей

1. Пусть K -- абелева категория Гротендика, и пусть A -- левоперпендикулярная подкатегория в K (в любом смысле слова). Тогда, во всяком случае, А замкнута относительно (прямых слагаемых и) бесконечных прямых сумм в K.

1а. Предположим дополнительно, что A -- абелева категория и функтор вложения A → K точен. Тогда (т.к. A полная подкатегория в K по определению) A замкнута относительно коядер в K. Сравнивая с пунктом 1., заключаем, что A замкнута относительно произвольных копределов в K.

2. Пусть K -- локально представимая абелева категория и A -- точно вложенная, абелева полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в K. В этой ситуации, категория A имеет множество образующих тогда и только тогда, когда она корефлективна в K и функтор-корефлектор сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого кардинала λ.

В самом деле, если A имеет множество образующих, то всякий сохраняющий копределы функтор из A в любую категорию имеет правый сопряженный по теореме Фрейда (отметим, что даже без предположения абелевости K, если в K есть произвольные копределы и A замкнута относительно копределов в K, то функтор A → K отражает эпиморфизмы -- достаточно рассмотреть cokernel pair в K эпиморфизма в A -- так что, если факторобъекты любого объекта K образуют множество, ср. [AR, Theorem 1.58], то то же верно и в A). Далее, все объекты категории A представимы, поскольку они представимы в K; и категория A локально представима, поскольку она имеет множество представимых сильных образующих [AR, Theorem 1.20]. Наконец, всякий правый сопряженный функтор между локально представимыми категориями сохраняет λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ [AR, Theorem 1.66].

Обратно, предположим, что K локально λ-представима, A корефлективна в K и корефлектор Γ: K → A сохраняет λ-фильтрованные копределы. Рассмотрим множество G всех объектов в A вида Γ(L), где L -- факторобъект λ-представимого объекта в K (или, что то же самое, L -- λ-порожденный объект в K [AR, Proposition 1.69]). Покажем, что всякий объект X из A является объединением (и даже, более того, копределом) своих подобъектов, принадлежащих G. Действительно, X является λ-фильтрованным копределом λ-представимых объектов Xi в K. Обозначая образ Xi в X через Yi, мы видим, что X является λ-фильтрованным копределом своих подобъектов Yi в K (ср. [AR, Theorem 1.70]). Применяя функтор Γ (который, заметим, как всякий правый сопряженный функтор, переводит мономорфизмы в мономорфизмы), мы обнаруживаем, что X является копределом своих подобъектов Γ(Yi).

3. В предположении принципа Вопенки, эквивалентные условия из пункта 2 всегда выполнены. Более того, всякая полная подкатегория, замкнутая относительно копределов в локально представимой категории, имеет множество образующих (и даже локально представима) и корефлективна (с функтором-корефлектором, сохраняющим λ-фильтрованные копределы для достаточно большого λ) [AR, Theorems 6.14 and 6.28, and Corollary 6.29]. Вообще, всякая полная подкатегория локально представимой категории имеет множество образующих (и даже small dense subcategory) в предположении принципа Вопенки [AR, Theorem 6.6].

4. Таким образом, в предположении принципа Вопенки, всякая точно вложенная левоперпендикулярная абелева подкатегория в категории Гротендика является категорией Гротендика. Было бы интересно знать, можно ли обойтись без принципа Вопенки в доказательстве этого факта для левоперпендикулярных подкатегорий к _множествам_ объектов/морфизмов (ср. [AR, Corollary 6.29], где упоминается co-orthogonality class, но про small co-orthogonality classes ничего не говорится).

5. Какие абелевы категории Гротендика являются (точно вложенными) левоперпендикулярными подкатегориями в категориях модулей над ассоциативными кольцами? Вот центральный вопрос.

К предыдущему

Понятно, что творческая самореализация -- вопрос таланта, плюс большого количества труда, плюс умения принимать правильные решения. Но в Москве после осени 2006 года я в целом работал не меньше, чем в израильско-чешский период. Почему же мне было так тоскливо в последние годы в Москве, что едва ли не большинство комментаторов моих подзамочных постингов ставили мне по интернету "диагноз "депрессия"" и приставали с непрошенными советами, как ее "лечить"?

Да именно из-за последнего из трех пунктов, про умение принимать правильные решения. Эмоции и переживания сопровождают процесс мышления и рефлексии, в особенности, по вопросам оценки обстановки, жизненной ситуации и принятия решений. Обстоятельства требовали поиска выхода из того положения, все более усугублявшегося, в котором я постепенно оказывался в Москве. Я искал такой выход, и я нашел его.

И если "русская весна" и международный военно-политический кризис 2014 года просто удачно подвернулись мне к случаю, то решение приземлиться в марте 2014 именно в Чехии, из всех стран мира, было чистым продуктом моей рефлексии. Продуктом совершенно нетривиальным (с точки зрения большинства моих знакомых алгебраистов, московских и т.д., Чехии на математической карте мира просто не существует).

История с очень плоской гипотезой, сформулированной в Москве в феврале 2014 (это единственная гипотеза в препринте про контрагерентные копучки, над которым я работал в последние московские годы) и доказанной в Праге в июне 2017, подтверждает правильность этого решения.

Израильско-чешский период

Это были потрясающие совершенно три года последние, в математическом отношении, для меня. Потрясающие.

С другой стороны, я же все время перемещаюсь, не только между странами, но и между областями. Для типичного читателя книжки про квадратичные алгебры мои работы последующих лет как бы и не существуют. Для типичного читателя мемуара про производные категории второго рода не существует ни книжки про квадратичные алгебры, ни моих работ 2012 и последующих годов; тем более, 2015 и последующих. Моих работ по группам Галуа и мотивам не существует ни для тех, и ни для других читателей, и т.д.

Взятое в целом, направление этих перемещений оказывается движением из центра на периферию, как в географическом смысле, так и в смысле популярности соответствующих областей. Круг математиков, знающих о существовании квадратичных алгебр, гораздо шире круга людей, знающих что такое "теория кокручения", например.

Другое дело, что книжка про квадратичные алгебры -- это приобретший популярность рассказ о научном поражении. Она может использоваться в качестве источника ссылок; наверное, может даже помочь некоторым читателям научиться ясно мыслить о простых вопросах, связанных с алгебрами с образующими и соотношениями. Там есть оригинальные идеи и удивительные наблюдения, но никаких по-настоящему нетривиальных теорем там нет. Никаких мощных методов работы с кошулевыми алгебрами мне разработать не удалось, сколько я ни пытался.

С другой стороны, доказательство очень плоской гипотезы -- это настоящая победа, тем более приятная, что она стала совершенно неожиданной. Если бы в мае этого года, когда я собирался в Прагу, меня спросили, думаю ли я, что нам с пражским аспирантом когда-нибудь удастся это доказать -- ответ был бы -- конечно же, нет. Но оказалось, что мы были уже очень близко, и достаточно было посчитать небольшой пример и потом немного подумать. У пражско-падуйских алгебраистов есть мощные технические средства работы с модулями над кольцами, и мои контрамодули становятся сейчас новым таким техническим средством.

Заметят ли мейнстримные алгебраисты или алгебраические геометры доказательство очень плоской гипотезы? Заговорят ли специалисты по тильтингу бесконечно-порожденных модулей на языке контрамодулей над топологическими кольцами эндоморфизмов, и т.д? Чего вообще можно ожидать от будущего?

Будущее скрыто в тумане.